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Jeanno

Invité

somme des produits des termes consécutifs de 2 suites géo

Bonjour,

Je suis en TS je bossais un exo en attendant l'épreuve de math et je bloque sur une partie:

On considère la suite définie par[tex] \ u_0=0\ ; \ u_1=2 \ ; \\ u_{n+2}=4u_{n+1}+5u_n[/tex]

Montrer que [tex]S_n[/tex] définie par [tex]s_n=u_{n+1}+u_n[/tex] est géométrique puis exprimer [tex]S_n[/tex] en fonction de [tex]n[/tex]

[tex]s_{n+1}=u_{n+2}+u_{n+1}\\
s_{n+1}=5u_{n+1}+5u_n=5(u_{n+1}+u_n)=5s_n\\s_0=u_1+u_0=2\\s_n=s_0\times 5^n=2\times 5^n[/tex]

On considère les suites [tex]V_n[/tex] et [tex]T_n[/tex] définie par [tex]v_n=(-1)^nu_n[/tex] et [tex]t_n=v_{n+1}-v_n[/tex]

a) Exprimer [tex]T_n[/tex] en fonction de [tex]S_n[/tex] puis[tex]\sum_0^{n-1}t_k[/tex] en  fonction de [tex]n[/tex] en utilisant cette expression et la question précédente.

[tex]t_n=v_{n+1}-v_n=(-1)^{n+1}u_{n+1}-(-1)^nu_n=(-1)^{n+1}u_{n+1}+(-1)^{n+1}u_n=(-1)^{n+1}(u_{n+1}+u_n)=(-1)^{n+1}s_n[/tex]

Le problème ici c'est que j'ai trouver une expression de [tex]T_n[/tex] en fonction de [tex]S_n[/tex] et [tex]n[/tex]
Soit la question est incomplète soit en fonction de [tex]S_n[/tex] implique en fonction [tex]n[/tex]...   je sais pas trop...

[tex]\sum_0^{n-1}t_k
t_n=(-1)^{n+1}s_n=(-1)^{n+1}\times2\times5^n[/tex]

[tex]\sum_0^{n-1}t_k=t_0+t_1+t_2+...+t_{n-1}\\
\sum_0^{n-1}t_k=(-1)^{1}\times2\times5^0+(-1)^{2}\times2\times5^1+(-1)^{3}\times2\times5^2+...+(-1)^{n}\times2\times5^{n-1}\\
\sum_0^{n-1}t_k=2\times((-1)^1\times5^0+((-1)^2\times5^1+((-1)^3\times5^2+...((-1)^{n}\times5^{n-1}[/tex]

Or j'ai beau cherché je ne sais pas comment trouver la somme des produits de termes consécutifs d'une suite géométrique (je ne sais même pas si la phrase a un sens).

sinon je pensais à changer l'écriture de [tex]T_n[/tex] en
[tex]t_n=-(-1)^ns_n[/tex]

ce qui me permet d'écrire

[tex]\sum_0^{n-1}t_k=t_0+t_1+t_2+...+t_{n-1}\\
\sum_0^{n-1}t_k=-2\times(-1)^0\times5^0+(-1)^1\times5^1+(-1)^2\times5^2+...+(-1)^{n-1}\times5^{n-1}[/tex]

et donc d'avoir -2 qui est en facteur d'une somme de produit de facteur à une même puissance mais après tout je suis bloqué de la même manière...

Si vous avez une aide à offrir je suis preneur.
Merci et bonne journée!

Jeanno

Invité

Re : somme des produits des termes consécutifs de 2 suites géo

Il manque des parenthèses pour la factorisation par 2 et -2

désolé

yoshi

Modo Ferox

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Re : somme des produits des termes consécutifs de 2 suites géo

Bonjour,

Il me semble que tu pourrais essayer de regrouper tous les termes avec k pair et tous les termes avec k impair :
une partie de la somme où k pair verra les les $(-1)^{k+1}$ devenir -1  et l'autre partie les $(-1)^{k+1}$ devenir 1, puis factoriser les deux parties.
La première (k pair) factorisation par -2 et l 'autre (k impair) par 10... Sauf erreur de calcul de ma part.
Je ne me suis pas penché sur la fin : on ignore si le n de n-1 est pair ou impair, ce qui risque d'aboutir à deux formules...

@+

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Black Jack

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Re : somme des produits des termes consécutifs de 2 suites géo

Salut,

5^0 - 5^1 + 5^2 + ... (-1).5^(n-1)

est la somme de n termes en progression géométrique de raison -5 et de 1er terme = 5^0 = 1

On a donc : 5^0 - 5^1 + 5^2 + ... (-1).5^(n-1) = 1 * ((-5)^n - 1)/(-5 - 1) = - (1/6) * ((-5)^n - 1)

Et donc ...

yoshi

Modo Ferox

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Re : somme des produits des termes consécutifs de 2 suites géo

Re,

Bien vu, pas pensé aux raisons négatives  !...

@+

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Jeanno

Invité

Re : somme des produits des termes consécutifs de 2 suites géo

[tex]\sum_0^{n-1} t_k=-2\frac{1-(-5)^{n}}{1-(-5)}=\frac{(-5)^n-1}{3}[/tex]

puis la question suivante:

b) Calculer[tex]\sum_0^{n-1} t_k[/tex] en fonction de [tex]n[/tex] et [tex]U_n[/tex] en utilisant la définition de [tex]T_n[/tex] c'est à dire [tex]t_n=v_{n+1}-v_n[/tex], puis en déduire [tex]U_n[/tex] en fonction de [tex]n[/tex] en utilisant la question précédente.

"Calculer[tex]\sum_0^{n-1} t_k[/tex] en fonction de [tex]n[/tex]" On vient de le faire non ?..
et cela me fait me poser encore la même question qu'au premier post "en fonction de [tex]n[/tex] et [tex]U_n[/tex]" je ne comprends pas pourquoi en fonction des deux (dans le premier post je demandais si c'était moi ou la question qui était en tort).

Merci pour les réponses précédentes.

freddy

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Re : somme des produits des termes consécutifs de 2 suites géo

Salut,

non, non, tu as bien calculer $\Sigma t_k$ selon une formule générale, mais maintenant, tu vas regarder dans le détail ce que vaut la somme $t_0+t_1+t_2 + \cdots$

Je te montre le début : $t_0=-u_1-u_0$,  $t_1=u_2+u_1$ et $t_2=-u_3-u_2$ et fais la somme des trois premiers termes, que trouves - tu ?

Généralise et tu as la réponse à ta question !

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.