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Kyrael83

Invité

Résolution d'un système différentiel non homogène.

Bonjour à tous,
Je dois déterminer la solution de (B) satisfaisant la condition initiale x(0)=y(0)=0.
Avec (B) le système différentiel : x'=3x+y+exp(t)
                                             y'=-4x-y+exp(t)
Je résous donc dans un premier temps le système homogène associé sans trop de problème et j'obtiens : x(t)=exp(t)[2at+3a]
                                                                                                                                             y(t)=-4exp(t)[at+a]
Puis je cherche une solution particulière du système complet par identification. En effet, si j'ai bien compris, en posant x(t)=Aexp(t) et y(t)=Bexp(t) puis en réinjectant ces deux expressions dans le système différentiel complet, je suis sensé déterminer les coefficients A et B afin de déterminer ma solution particulière.
Malheureusement cette méthode n’aboutis pas, j'obtiens un système sans solution pour A et B.
Quelqu'un peut me dire d'où vient mon erreur?
Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 047

Re : Résolution d'un système différentiel non homogène.

Bonjour,

  Il y a au moins deux façons d'aborder ton problème :
1. Tu peux effectivement chercher une solution particulière. Si une solution de la forme $(A\exp(t),B\exp(t))$ ne convient pas, alors cherche une solution sous la forme $(P(t)\exp(t),Q(t)\exp(t)$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes (commence par des polynômes de degré 1, etc...)
2. Lors de la résolution de ton système, tu as été amené à diagonaliser une matrice. Tu peux en réalité réaliser cette diagonalisation sur tout le système (y compris avec le second membre). Tu trouveras un exemple dans le première question de cet exercice.

F.

Black Jack

Membre

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Messages : 470

Re : Résolution d'un système différentiel non homogène.

Salut,

Si ma réponse est considérée comme trop détaillée ... on peut la virer.
Elle a tout de même le mérite de présenter une méthode alternative à la méthode (que je juge pesante) matricielle.

On peut tout à fait se passer d'utiliser la méthode matricielle.

Si cela intéresse, voila une autre voie :

x'=3x+y+e^t
y'=-4x-y+e^t

y = x'-3x-e^t
y' = x" - 3x' - e^t

x" - 3x' - e^t = -4x - (x'-3x-e^t) + e^t

x" - 3x' - e^t = -4x - x'+ 3x + 2.e^t

x" - 2x' + x = 3.e^t

p²-2p+1 = 0 --> p1 = p2 = 1
Solutions de x" - 2x' + x = 0 :  x = (A+B.t).e^t

sol particulière de x" - 2x' + x = 3.e^t (Attention, comme (A+B.t).e^t est solution de x" - 2x' + x = 0, une solution particulière devra être de la forme x = K.x².e^t)
...  et on arrive à x = 1,5.t².e^t (est une solution particulière de x" - 2x' + x = 3.e^t)

Solutions générales de x" - 2x' + x = 3.e^t :
x = (A + B.t + 1,5.t²).e^t
---
x' = (A + B.t + 1,5.t²+ B + 3t).e^t

x'=3x+y+e^t
(A + B.t + 1,5.t²+ B + 3t).e^t = 3.(A + B.t + 1,5.t²).e^t + y + e^t

y = (A + B.t + 1,5.t²+ B + 3t - 3A - 3B.t - 4,5.t²-1).e^t

y = (-2A+B-1 + t - 3.t² ).e^t

---
On a donc :

x = (A + B.t + 1,5.t²).e^t
y = (-2A+B-1 + t - 3.t² ).e^t

et avec les conditions initiales :
0 = A
0 = -2A + B - 1

A = 0 et B = 1

Et donc finalement :

x = (t + 1,5.t²).e^t
y = (t - 3.t² ).e^t