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#1 16-06-2018 14:48:22

Divapromisy
Membre
Inscription : 16-06-2018
Messages : 1

Homeorphisme (-1,1) B(0,1) (R²) puis R R²

Bonjour, actuellement en révision de mon examen de topologie je suis tombé sur un ancien sujet dont une question d'un QCM
était la suivante: Est-ce vrai ou faux que l'intervalle (-1,1) de R et la boule ouverte B(0,1) de R² sont homéomorphes? Justifier si cela est faux

Ma première idée a été que cela était faux (pour cause de dimension) puis j'ai pensé à l'astuce qui serait de prendre dans l'écriture décimale de mon réel chaque decimale impaire pour la decimale de la partie réelle (du complexe de r2) puis chaque decimale paire pour la partie complexe (du comple de r2). Cela transformerait ainsi mon segment en le rectangle ouvert du plan complexe ((1,0),(1,1),(-1,1),(-1,0)) (il me manquerait le choix du signe pour la partie complexe). Mais ayant ainsi trouvé une bijection entre mon segment et un ouvert connexe de R2 je pourrais ensuite conclure que les deux sont homéorphes (car ce rectangle ouvert et la boule ouverte sont homéomorphes).

Est ce que ce raisonnement est juste?

Si c'est le cas, je me demandais pourquoi ne pas adapater ce raisonnement à R et R²? Est ce car je me sers de la partie décimale (mais je ne vois pas trop ou cela bloque)?

Merci de vos réponses!

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#2 17-06-2018 21:22:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Homeorphisme (-1,1) B(0,1) (R²) puis R R²

Bonjour,

  L'intervalle $]-1,1[$ et la boule ouverte de $\mathbb R^2$ ne sont pas homéomorphes pour des raisons de connexité : si tu enlèves un point à $]-1,1[$ tu obtiens un ensemble qui n'est plus connexe (par arcs), alors que la boule privée d'un point reste connexe (par arcs).

F.

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