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#1 16-06-2018 14:24:51

brain
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Notion d'inertie en ACP

Bonsoir chers amis j'aimerais bien comprendre la notion d'inertie en ACP.

Je sais que l'inertie est la moyenne des écarts au carrés des distances des individus aux centres de gravité.

Mais lorsqu'on dit le premier axe apporte par exemple 70% de l'inertie je n'arrive pas a bien comprendre.

Pouvez vous m'expliquez?

Merci d'avance.

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#2 17-06-2018 10:18:04

D_john
Invité

Re : Notion d'inertie en ACP

Salut,

La terminologie est issue de la mécanique des solides. Les masses sont remplacées par les individus de la population, comptés chacun pour 1. Si la population est répartie en 3D (resp. 2D) il y a 3 (resp. 2) axes d'inertie principaux qui passent par le CDG.

Celui dont tu parles passe par le CDG et rend maximum l’inertie axiale de la population. Cette inertie se calcule avec les distances par rapport à l'axe et non plus par rapport au CDG.

Pour se ramener par exemple à qqchose que tu dois savoir, si tu considères le ‘nuage’ d’une population répartie dans un plan, la droite des moindres carrés te donne l’axe d’inertie la plus faible. C’est l’un des axes d’inertie principaux. L’autre passe aussi par le CDG mais il est perpendiculaire à la droite des moindres carrés et reste dans le plan du nuage 2D. C’est évidemment l’axe de plus grande inertie axiale passant par le CDG.

Pour les théories sous-jacentes, il faut plonger dans les formes quadratiques, les matrices définies positives, leurs directions propres et évidemment le calcul intégral. Mais dans ton cas, ce sont des sommes discrètes...

J'espère avoir répondu à ta question.
En tout cas, bon courage.

PS : J'écris souvent "passant par le CDG" parce qu'il y beaucoup d'autres axes d'inertie !

#3 17-06-2018 10:30:50

D_john
Invité

Re : Notion d'inertie en ACP

Oups !
Attention, dans cet exemple piège de la droite des moindres carrés, il faut bien entendu prendre les carrés des distances par rapport à la droite et non pas minimiser la somme des (y_i - a*x_i -b)²...

#4 17-06-2018 19:32:17

brain
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Messages : 6

Re : Notion d'inertie en ACP

Il n'y a pas une explication plus simple pour fixer les idées. Merci

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#5 17-06-2018 22:55:30

D_john
Invité

Re : Notion d'inertie en ACP

... certainement que si, mais encore faudrait-il que je comprenne ce que tu ne comprends pas !

#6 17-06-2018 23:23:37

brain
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Re : Notion d'inertie en ACP

Quand on dit le premier axe apport 75% d'inertie et le second 21% de l'inertie ça signifie quoi? Merci d'avance

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#7 18-06-2018 07:46:54

D_john
Invité

Re : Notion d'inertie en ACP

salut,

... ça veut dire que si tu diagonalises la matrice de covariance associée au nuage de la population, les valeurs propres en ordre décroissant sont (0.75 ; 0.21 ; ...) et les axes d'inertie correspondent aux directions propres.

#8 18-06-2018 09:51:21

brain
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Re : Notion d'inertie en ACP

Je voulais en profiter pour savoir lorsque j'ai une matrice M les valeurs et les vecteurs propres signifient quoi pour cette matrice.
En interprétation je veux dire.

Merci.

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