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#1 15-06-2018 13:03:53

Coton
Invité

Polynôme caractéristique

Bonjour,

Pour calculer le polynôme caractéristique d'une matrice, il faut permuter des lignes et des colonnes pour faire apparaître des zéros afin que le calcul soit plus facile.

J'aimerais savoir s'il y a une méthode en particulière pour faire apparaître des zéros car, "à l’œil", je ne trouve pas cela toujours évident.

Par exemple, pour cette matrice (bon, celle-ci est simple à résoudre "à l’œil" mais c'est juste pour avoir un exemple)

[tex] P(\lambda)=\begin{pmatrix}\frac{128}{3} - \lambda  & \frac{-16}{3} & \frac{-16}{3}\\ \frac{-16}{3}  & \frac{68}{3}- \lambda & \frac{44}{3}\\ \frac{-16}{3} & \frac{44}{3} & \frac{68}{3}- \lambda\end{pmatrix}[/tex]

Merci pour votre aide,

#2 15-06-2018 20:35:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Polynôme caractéristique

Bonsoir

  Personnellement pour calculer le polynôme caractéristique d'une matrice 3x3 je choisis un des coefficients de la première colonne (celui qui est le plus facile) et je m'en sers pour mettre des zéros ailleurs dans cette colonne. Je développe par rapport à cette colonne et il me reste un déterminant 2x2 à calculer. Je le fais avec la formule.

F

Hors ligne

#3 16-06-2018 09:01:20

Coton
Invité

Re : Polynôme caractéristique

Bonjour,

Merci de m'avoir répondu.

Si j'ai bien compris, pour l'exemple que j'ai donné, il faudrait prendre le deuxième coefficient de la 1ère colonne :[tex]\frac{-16}{3}[/tex]

Et ensuite, pour faire apparaître un zéro sur le 1er coefficient de la 1ère ligne, il faudrait faire : [tex]L_1 \longleftarrow L_1 + (8 - \frac{3}{16}\lambda L_2[/tex] ?

Par contre, ensuite, si je calcule le 1er coeff de la 2ème colonne, j'obtiens quelque chose de "compliqué" :
\frac{-16}{3}+(8-\frac{3}{16}\lambda)(\frac{68}{3}-\lambda)

Du coup, je me demande si j'ai bien compris ?

#4 16-06-2018 09:04:38

Coton
Invité

Re : Polynôme caractéristique

Pardon pour le double-post. Au lieu de cliquer sur prévisualisation, j'ai cliqué sur envoyé. Je remet mon message avec le code LaTex corrigé :

Bonjour,

Merci de m'avoir répondu.

Si j'ai bien compris, pour l'exemple que j'ai donné, il faudrait prendre le deuxième coefficient de la 1ère colonne :[tex]\frac{-16}{3}[/tex]

Et ensuite, pour faire apparaître un zéro sur le 1er coefficient de la 1ère ligne, il faudrait faire : [tex]L_1 \longleftarrow L_1 + (8 - \frac{3}{16}\lambda) L_2[/tex] ?

Par contre, ensuite, si je calcule le 1er coeff de la 2ème colonne, j'obtiens quelque chose de "compliqué" :
[tex]\frac{-16}{3}+(8-\frac{3}{16}\lambda)(\frac{68}{3}-\lambda)[/tex]

Du coup, je me demande si j'ai bien compris ?

#5 16-06-2018 11:01:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Polynôme caractéristique

Tu as bien compris. C'est normal de trouver quelque chose de compliqué. A la fin tu veux trouver un polynôme de degré 3.

Hors ligne

#6 16-06-2018 13:27:12

Coton
Invité

Re : Polynôme caractéristique

D'accord. Comme tu dis, à la fin, on retrouve un polynôme de degré 3. Mais il faut ensuite le factoriser si on veut avoir les valeurs propres (pardon, j'aurais peut-être dû le dire plus tôt). Pour l'instant, je me retrouve avec ça :

[tex] P(\lambda)=\begin{pmatrix}0  & \frac{-16}{3}+(8-\frac{-3}{16}\lambda)(\frac{68}{3}-\lambda) & \frac{336}{3}-\frac{-11}{4}\lambda\\ \frac{-16}{3}  & \frac{68}{3}- \lambda & \frac{44}{3}\\ 0 & -8+\lambda & 8-\lambda\end{pmatrix}[/tex]

Donc

[tex] P(\lambda)= \frac{16}{3}([\frac{-16}{3}+(8-\frac{3}{16}\lambda)(\frac{68}{3}-\lambda)](8-\lambda)-(-8+\lambda)(\frac{336}{3}-\frac{11}{4}\lambda))[/tex]

Du coup, qu'est-ce que je fais maintenant ? Je ne vois pas comment résoudre cela intelligemment.

#7 17-06-2018 21:24:05

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Polynôme caractéristique

Re-

  Il me semble qu'il y a un $(8-\lambda)$ qui se met en facteurs assez facilement....

F.

Hors ligne

#8 18-06-2018 19:39:36

Coton
Invité

Re : Polynôme caractéristique

Oui mais cela ne m'aide pas beaucoup mais je vais essayer de finir.

Merci pour toutes tes réponses.

#9 19-06-2018 09:11:29

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Polynôme caractéristique

Salut,

ben si, après avoir bien factorisé, tu sais que tu cherches les 3 valeurs de $\lambda$ qui annulent ton polynôme caractéristique.
A mon avis, il faut que tu reprennes ton cours sur la recherche des valeurs et vecteurs propres d'une matrice.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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