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#1 09-06-2018 06:45:26

nbsi
Membre
Inscription : 24-11-2017
Messages : 17

Espace vectoriel

Bonjour à tous une aide s'il vous plaît
Soient F = {(x, y, z) ∈ $R^3$ | x+y−z = 0} et G = {(a−b, a+b, a−3b) |
a, b ∈ R}.
(a) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de $R^3$
.
(b) Déterminer F ∩ G

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#2 09-06-2018 13:02:46

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 142

Re : Espace vectoriel

Bonjour,

  Et toi, qu'as-tu fait?

F.

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#3 14-06-2018 14:34:30

nbsi
Membre
Inscription : 24-11-2017
Messages : 17

Re : Espace vectoriel

Pour F
- (0,0,0) $\in F$ donc G$\neq$ $\emptyset$

- soit u, v $\in F$ montrons que $u+v \in F$

Je ne connais pas comment choisi u et v

Soit $\lambda \in \mathbb{R}$
On a $(\lambda x + \lambda y - \lambda z) = \lambda(x+y-z)$

Donc $\lambda u \in F$
Et la même chose pour G.

$F \cap G$ je ne sais pas

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#4 14-06-2018 17:32:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 142

Re : Espace vectoriel

Il va falloir reprendre les choses au début....

Tu prends $u$ et $v$ dans $F\cap G$.
Tu donnes d'abord un nom aux coordonnées de ces vecteurs, par exemple $u=(x,y,z)$ et $v=(x',y,z')$.

Tu sais que $u$ est dans $F$ donc que $x+y-z=0$. Tu sais que $v$ est dans $F$, donc $x'+y'-z'=0$.

Tu veux prouver que $u+v\in F$. Ben, on calcule les coordonnées de $u+v$, c'est-à-dire $(x+x',y+y',z+z')$ et on vérifie
que $(x+x')+(y+y')+(z+z')=0$, ce qui n'est pas très difficile....

Sais-tu ensuite, sur ce modèle (ou presque), démontrer que $G$ est un espace vectoriel???

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#5 14-06-2018 20:28:06

nbsi
Membre
Inscription : 24-11-2017
Messages : 17

Re : Espace vectoriel

Merci fred

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#6 15-06-2018 08:00:35

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 326

Re : Espace vectoriel

Salut,

une toute petite correction : on choisit $u$ et $v$ dans $F$ et on vérifie que $u+v$ reste dans $F$ comme le montre Fred.

On fait pareil pour établir que $G$ est bien un sev.

Puis on détermine les éléments du sev $F \cap G$.

Par exemple, on se dit que si $u \in F\cap G$ alors ses coordonnées vérifient l'équation des éléments de $F$ et donc $a-b + a+b+ a-3b=0$ et on en déduit que $a=b$ par exemple. Du coup, on a une caractérisation des éléments de  $F\cap G$.

Bonne journée !


Memento Mori ! ...

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#7 05-07-2018 10:21:32

Jules
Membre
Inscription : 05-07-2018
Messages : 1

Re : Espace vectoriel

Bonjour svp comment télécharger le cours pour bosser

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