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#1 26-05-2018 21:36:23

Gérard
Invité

Volume engendre par rotation autour d'une droite

Bonjour tout le monde,

J'ai du mal à comprendre cette question....Pourriez vous m'aider svp ?

Énoncé : On donne un triangle quelconque ABC et une droite parallèle à BC passant par le centre de gravité du triangle ABC.

Cette droite coupe AB et AC en D et E respectivement.

On demande de prouver que le volume engendré par le triangle ADE tournant autour de DE et le volume engendré par le trapèze DECB tournant également autour de DE sont équivalents.


Ce que j'ai essayé de faire : Je sais que là rotation d'un triangle autour d'un axe fixe est un cône de révolution mais je ne sais pas si je dois prendre AD ou AE comme rayon..... Et pour le volume engendré par le trapèze je n'ai aucune idée... Aidez svp

Merci d'avance

#2 27-05-2018 08:52:02

yoshi
Modo Ferox
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Bonjour,


https://www.maths-forum.com/lycee/volum … 94895.html
Message déposé chez nous à 21 h 36...
A 22 h 32, personne ici ne t'ayant répondu (quel scandale !), tu décides de poster ailleurs...
Réponse d'aviateur à 23 h 16
Tu lui réponds à 6 h 47 ce matin... 10 h 02, toujours pas de réponse. Vas-tu poster ailleurs encore cette fois ,
Quelle marque de confiance, quel encouragement à répondre... !

Ça s'appelle du crossposting, que je traduis en français par "manger à tous les rateliers", ce qui est très très mal vu.
Personnellement, ça m'insupporte terriblement...

C'est aviateur qui va apprécier !

@+


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#3 28-05-2018 14:17:05

D_john
Invité

Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Hello,

... sans le théorème de Guldin, cette question est intéressante et mérite quand-même une réponse malgré le 'cross...'.

Tu dois savoir que :

1 - si tu déplaces le sommet d'un triangle parallèlement à sa base (donc dans le plan du triangle), ça ne change ni son aire (la mesure de la surface du triangle), ni la distance entre son centre de gravité et sa base

2 - le cdg d'un triangle est situé au 2/3 de la distance entre son sommet et sa base (càd du côté où il y a davantag de surface)

3 - si tu fais tourner un triangle autour de sa base (càd base prise comme axe de rotation du triangle), le sommet du triangle se déplace sur un cercle situé dans un plan perpendiculaire à la base (et du coup, d'un plan tu passes à l'espace !)

4 - le volume d'un cône est de 1/3 du volume d'un cylindre soit [tex] V = \pi .r^2.h/3 [/tex]

Voilà pour les rappels. Le premier va te servir à simplifier le problème sans en restreindre la généralité (comme disent les matheux).

Tu commences donc par déplacer le sommet A parallèlement à la base BC jusqu'à obtenir un triangle rectangle en B ou C (peu importe).

Ensuite tu fais tourner comme demandé dans l'énoncé...

Il te reste à calculer les différents volumes engendrés sachant qu'un volume peut aussi être obtenu par différence de 2 volumes (si c'est plus simple à calculer...).

D'autres questions ?

#4 28-05-2018 16:18:18

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

RE,

Ok.
Mais
1. Pour moi  la rotation du tr. ABC autour de (DE), pas plus qu'autour du (BC), tel quel, sans déformation se sera pas un cône.

2. Si je ne m'abuse, grâce au th de Thalès et son application à Réduction/agrandissement, leçon qui le suit (suivait ?) dans le prg de 3e, puisque ((DE)// (BC) et passe par G centre de gravité, je considère le tr  ADE comme une réduction du tr .ABC de coeff 2/3.
L'aire de ADE étant les 4/9 de celle de ABC, qu'on déplace A ou pas, je ne vois pas comment le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner  le tr ADE autour de (DE) pourrait être la moitié de celui du volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner  le tr ABC autour de (BC). Ce ne serait vrai qu'avec un coefficient de réduction des longueurs [tex]k=\dfrac{1}{\sqrt[3] 2}[/tex].
C'est plus rapide à montrer avec ta proposition. Je n'y avais pas pensé : je traçais la hauteur [AH] relative à [BC], je pointais F l'intersection avec (DE) et je faisais tourner séparément les triangles ABH et AEH (si [tex]\hat B[/tex] n'est pas obtus, dans le cas contraire c'était moins simple)...

3. Je trouve dommage en tant qu'ex prof et donc éducateur, d'offrir une prime à cette mentalité de consommateur qui veut tout, tout de suite... C'est parfaitement injurieux (je le ressens comme tel).
    Vive la mise en concurrence ?...

@+


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#5 29-05-2018 11:32:14

Gérard
Invité

Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Merci beaucoup pour votre réponse ça m'a bcp aider


Par contre je ne comprends pas du tout votre réaction , ça vous dérange que je poste la même question sur plusieurs forums à ce point ? Comment vous pouvez parler de ma mentalité en tant que prof en plus alors que vous ne connaissez limite que mon prénom ? C'est si mal que ça d'être presser d'avoir une réponse ? C'est pas vous les profs qui reprochent souvent au élèves de ne pas assez poser de question en classe ? Ici on est sur Internet et je n'ai clairement pas fait la pire des choses , vous vous vexez vraiment pour rien.....



Sur ce Bonne journée et encore merci :)

#6 29-05-2018 14:51:22

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Bonjour,

1. Oui ça m'insupporte terriblement... Et je ne suis pas le seul ! Peu me chalent le prénom, le pseudo, le sexe et que sais-je encore...
   Je juge sur des actes.
2.

C'est si mal que ça d'être presser d'avoir une réponse ?

    Non.
    D'être pressé au point de changer de forum pour obtenir une réponse au bout de 3 jours de silence, non...
    Là, c'est mettre les forums en concurrence... Non ? Si !
    Et on verra apparaître sûrement un jour, un classement des forums en fonction de la vitesse de réactivité...
    C'est en même temps, comme dirait quelqu'un de connu, une forme de pression mise sur les intervenants qui sont des bénévoles
    béné  vole, voler bene : qui le veut bien...
    Replaçons les choses en perspective...
    Samedi 26 mai 21 h 36. Tu poses ta question ici.
    Samedi 22 h 32. N'ayant pas reçu de réponse, tu tentes ta chance ailleurs. 54 min plus tard.
    Dans la foulée, ta justification était recevable. Dérangeante, mais recevable...
    Là, 56 min, plus tard , et oui,c'est ainsi que je l'interprète : Comment ? On ne m'a pas encore répondu ? Mais qu'est-ce qu'ils foutent  ?
    C'est quoi ces glandeurs ? C'est un scandale ! Je change de crèmerie...

    C'est faire peu de cas de l'humanisme et de l'humain : ces bénévoles ont aussi droit à une vie de famille, à avoir d'autres obligations, et ne pas pouvoir être présents 24 h/24 7j/7... pour répondre.
   Là, nous étions un samedi à 22 h 36. De l'autre côté, aviateur t'a répondu (il est 23 h 16), et pour info, quand il le détecte, il est assez virulent en ce qui concerne le crossposting...
   Tu reposes question vers 6 h 47... Et pourquoi pas avant ?
   Pourquoi ne pas tenter ta chance encore ailleurs ? Tu dormais ? Bin ceux qui répondent dorment aussi, et ont une vie personnelle...
3. On s'inscrit sur un forum. On y pose une question. La moindre des choses est quand même d'accorder un temps de latence raisonnable et non pas d'aller poser la même question ailleurs  56 min après, un samedi soir après 22 h 30. Je sais bien que dans la vie IRL, il est de bon ton de faire travailler les gens le dimanche (même le 1er mai chez moi pour les éboueurs) au mépris de leur vie de famille... Oh, mais :
    - uniquement les volontaires... Mais bien sûr... Et celui qui refuse, le jour d'un coup de moins bien et de compression de personnel, combien a-t-il de chances de ne pas être dans la charrette des "condamnés" ?. le monde la vie IRL  n'est pas le mondes des bisounours...
    Il faut aller jusqu'au bout de ta logique.
    Tu postes ici. Tu fais un copier/coller. Auparavant, tu as recensé les URL de 5/6 formms de maths. Donc tu t'y présentes l'un après l'autre, et colles ta question...
4. S'inscrire peu après ailleurs, c''est comme se dire : Hmmmm... Réflexions faites, même pas capables de me répondre dans les 50 min, ils sont sûrement pas très qualifiés. Vaut mieux que je change !

Bref, je pourrais continuer longtemps comme ça. Je viens d'aller voir les autres réponses obtenues... Pour certains, ok ! Pour d'autres, ça m'inspire une remarque : répondre pour répondre des c..ies ou engager le demandeur sur des fausses pistes... mieux vaut s'abstenir. C'est du moins ma politique...
Un cône de révolution s'obtient par rotation  d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit...
Il est inutile d'aller chercher un triangle isocèle et de le faire tourner autour de la hauteur relative à la base, laquelle hauteur partage alors le triangle isocèle en 2 triangles rectangles égaux...
Le faire tourner autour de sa base ne donnera pas un cône de révolution, mais 2 cônes accolés (l'enseigne d'un bureau de tabac en gros)

@+


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#7 29-05-2018 19:54:17

Gérard
Invité

Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Vous réfléchissez vraiment pour rien , j'étais juste presser ???

#8 30-05-2018 08:10:26

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Bonjour,


A la manière de... Coluche : Géraaaaard ! ...j'ai bien compris que tu étais "pressé" !

C'est le timing qui m'interpelle, pas toi ?
Tu espérais raisonnablement avoir une réponse dans les 50 min, un samedi soir à 21 h 30 ???
Faut être un peu raisonnable et sérieux, là quand même !?
Ça aurait pu, avec beaucoup de chance...
En tous cas, pas de ma part : j'ai pu constater à quelques reprises des bourdes à partir de ces heures-là, et ça me dérange beaucoup. Donc la bécane est arrêtée jusqu'au lendemain matin.

Pressé au point de quêter une réponse un dimanche matin à 6 h 30 ??? En plus avec un énoncé faux ? (mal interprété ?)

@+

[EDIT]
je ne vais pas aller là bas discuter avec aviateur...
Je vais procéder comme D_John en suivant son idée de déformation.
Je trace la hauteur {AH] du triangle ABC, relative à [BC].
En gardant la longueur AH invariante et gardant l'angle $\hat H$ droit, je déplace H sur (BC) vers B :
A arrive en $A_1$, H en B.
Le triangle A1BC est rectangle en B.
les points D, E, G arrivent en D1 sur [A1B], en E1 sur A1C et en G1 sur la médiane relative à [BC].
180530012129809692.jpg
Je reviens à ton sujet que je réécris comme suit :
Montrer que le volume du solide de révolution (ici cône) engendré par la rotation du triangle rectangle A1D1E1 autour de (D1E1) est égal à la moitié du volume du solide de révolution (ici cône) engendré par la rotation du triangle rectangle A1BC autour de (BC)

D'après Thales, [tex]D_1E_1=\frac 2 3 BC[/tex]  et   [tex]A_1D_1=\frac 2 3 A_1D[/tex]
Volume cône rayon r et hauteur h  : [tex]V=\dfrac 1 3 \pi r^2h[/tex]
Par rotation autour des côtés [tex][BC][/tex] et [tex]D_1E_1][/tex], les rayons et hauteurs sont respectivement
[tex]BA_1[/tex] et [tex]D_1A_1[/tex] ;  [tex] D_1E_1[/tex] et [tex]BC[/tex]

Volume du cône de révolution dû à la  la rotation du triangle rectangle A1BC autour de (BC)
[tex]V=\dfrac 1 3 \pi BA_1^2 \times BC[/tex]

Volume du cône de révolution dû à la  la rotation du triangle rectangle A1D1E1 autour de (D1E1)
[tex]V_1=\dfrac 1 3 \pi D_1A_1^2 \times D_1E_1[/tex]

On remplace [tex]D_1A_1[/tex] par [tex]\dfrac2 3 BA_1[/tex]  et  [tex]D_1E_1[/tex] par [tex]\dfrac 2 3 BC[/tex]:
[tex]V_1=\dfrac 1 3 \pi \times \dfrac4 9 BA_1^2 \times \dfrac 2 3 BC[/tex]
[tex]V_1=\dfrac{8}{27}\left(\dfrac 1 3 \pi BA_1^2 \times BC\right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]V_1=\dfrac{8}{27}V[/tex]

Juste pour montrer que
1. Je m'en tiens à la question (sans en inventer une autre et que j'y réponds : c'est faux.
2. je n'avais pas besoin de tous ces calculs via la notion de coefficients de réduction/agrandissement.

NDLR : Mea culpa, ces coefficients ne fonctionnent pas en volume pour la comparaison de la révolution du trapèze. Il faut quand même s'appuyer les calculs...
Dont acte et pan sur mes doigts...

Donc, on continue.
Soit [tex]K [/tex] le pied de la perpendiculaire abaissée de de [tex]E_1[/tex] sur [BC]
On A [tex]D_1E_1=BK=\dfrac 2 3 BC[/tex]
et
[tex]KC=\dfrac 1 3 BC[/tex]

Le solide de révolution engendré par la rotation du trapèze [tex]D_1E_1CB[/tex] autour de (BC) est le cylindre de révolution de rayon [tex]BD_1=\dfrac 1 3 BA_1[/tex] et de hauteur [tex]BK=\dfrac 2 3 BC[/tex] auquel on aboute le cône de révolution de rayon [tex]KE_1= BD_1=\dfrac 1 3 BA_1[/tex] et de hauteur [tex]KC=\dfrac 1 3 BC[/tex]
Volume revolution trapèze = [tex]\pi\times \dfrac 1 9 BA_1^2\times \dfrac 2 3 BC+\dfrac 1 3\pi\times \dfrac 1 9 BA_1^2\times \dfrac 1 3 BC=\dfrac{2}{27}\pi BA_1^2\times BC+\dfrac{1}{81}\pi BA_1^2\times BC[/tex]

Volume revolution trapèze [tex] = \dfrac{7}{81}\pi BA_1^2\,BC=\dfrac{7}{27}\times \dfrac 1 3 \pi BA_1^3\;BC=\dfrac{7}{27} V[/tex]

J'ai montré que les deux volumes ne sont pas égaux, mais la question est : équivalent

Comme [tex]\dfrac{8}{27}V[/tex]  et  [tex]\dfrac{7}{27}V[/tex] sont relativement proches, peut-être faut-il envisager un autre sens pour "équivalent" ?

Et je ne suis plus du tout sûr que le passage au triangle rectangle façon D_John ne change pas le volume obtenu par rotation du trapèze autour de sa sa base [BC]. je suis dessus en ce moment sans succès avec le cas triangle ABC scalène.. et H ente B et C.

Dernière modification par yoshi (30-05-2018 12:55:10)


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#9 30-05-2018 17:06:35

D_john
Invité

Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Bonjour à tous,

... magnifique tour de passe-passe yoshi c'est vraiment à classer dans les trucs étonnants ! Guldin doit se retourner dans sa tombe...
J'avoue quand-même humblement avoir galéré pour trouver l'erreur.
Là ça devient un jeu sympa cette histoire.

Pour le reste, les temps changent très vite (mais pas les théorèmes heureusement) et malheureusement même si ça va trop vite, c'est à nous les vieux de nous adapter. Inutile de freiner des 4 fers...

Bien cordialement et à bientôt pour la suite.

#10 30-05-2018 19:20:47

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

salut D_john,

Moi aussi j'ai des km au compteur.

Approuves-tu mes calculs ? ça me rassurerait parce que de l'autre côté, "de l'autre côté" aviateur trouve l'égalité, lui...

Quoique, je ne sais pas comment prendre "magnifique tour de passe passe... Guldin doit se retourner dans sa tombe" ça ressemble beaucoup à une critique chambreuse bien enveloppée...
S'il y a erreur, alors elle m'échappe : j'ai fait mes calculs honnêtement, je n'ai pas essayé de tour de "passe-passe"...

Je vais les revoir encore.

@+


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#11 30-05-2018 20:22:11

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

RE;

[tex]\dfrac{A_1G_1}{A_1I}=\dfrac 2 3[/tex]
Dans le tr [tex]A_1BI[/tex],  [tex](D_1E_1) // (BI)[/tex]
Alors [tex]\dfrac{A_1D_1}{A_1B}=\dfrac{D_1G_1}{BI}= \dfrac{A_1G_1}{A_1I}=\dfrac 2 3[/tex]
Et [tex]D_1G_1=\dfrac 2 3BI=\dfrac 2 3\times \dfrac  1 2 BC=\dfrac 1 3 BC[/tex]

Je recommence dans le triangle [tex]A_1IC[/tex]
Et je trouve [tex]G_1E_1=\dfrac 1 3 BC[/tex]

D'où [tex]D_1E_1=\dfrac 2 3 BC[/tex]
Par construction
[tex]D_1E_1KB[/tex] a 3 angles droits c'est un rectangle.
D'où
[tex]BK = D_1E_1 =\dfrac 2 3 BC[/tex]  et [tex]KC = \dfrac 1 3 BC[/tex]

[tex]KC=BD_1=\dfrac 1 3 BA_1[/tex] puisque [tex]D_1A_1 =\dfrac 2 3 BA_1[/tex]

La rotation du rectangle [tex]D_1E_1KB[/tex] autour de (BK) est un cylindre de base le disque de rayon [tex]BD_1[/tex] et de hauteur BK

Son volume est
[tex]\pi\left(\dfrac 1 3 BA_1\right)^2\times \dfrac 2 3 BC= \pi\dfrac 1 9 BA_1^2\times \dfrac 2 3 BC=\dfrac {2}{ 27}BA_1^2\times BC[/tex]

La rotation du triangle KE_1C autour de (KC) est le cône de rayon [tex]KE_1=\dfrac 1 3 BA_1 [/tex] et de hauteur[tex] KC=\dfrac 1 3 BC[/tex]
Volume :
[tex] \dfrac 1 3 \pi\left(\dfrac 1 3 BA_1\right)^2\times \dfrac 1 3 BC=\dfrac{1}{81}BA_1^2\times BC[/tex]

La somme des deux  fait bien [tex]\dfrac{7}{81}BA_1^2\times BC[/tex]

Le volume du cône de rotation de [tex]A_1BC[/tex] autour de (BC) est un cône de rayon [tex] BA_1[/tex] et de hauteur BC :
Volume :
[tex] V=\dfrac 1 3 \pi BA_1^2\times  BC[/tex] et j'ai bien [tex]\dfrac{7}{27}V[/tex]

Quant à V_1, je peux considérer qu'il y a une réduction de coefficient [tex]\left(\dfrac 2 3\right)^3[/tex] par rapport à V.

Je n'ai pas vu l'erreur...

Demain 400 km pour rentrer chez moi. une fois rentré je reprendrai encore une fois d'un œil neuf...

@+


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#12 30-05-2018 21:40:23

D_john
Invité

Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Bonsoir yoshi,

Bien sûr tes calculs sont bons je les ai vérifiés 2 fois et j'étais complètement abasourdi au point de me dire que c'était de la magie. C'est la raison pour laquelle j'ai qualifié ta solution de 'joli tour de passe-passe'.

Il me fallait donc encore chercher le bug car rien n'est plus agaçant que de connaître la solution et ne pas arriver à la retrouver. La seule différence apparente entre ta méthode et la mienne c'est ça (voir #3) :

'Il te reste à calculer les différents volumes engendrés sachant qu'un volume peut aussi être obtenu par différence de 2 volumes (si c'est plus simple à calculer...).'

Mais il y a une autre différence plus subtile... une sorte de piège (probablement involontaire de la part de l'auteur du problème) que je te laisse découvrir sinon tu vas être déçu.

La suite au prochain indice qui est aussi contenu dans #3 (et pardon de me citer par 2 fois !)

#13 31-05-2018 11:19:08

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Bobjour,

I'm back...
4 30 de voyage plus tard, je prends connaissance de ta réponse...
Ouf !
Pendant le voyage (mentalement bien sur) j'ai étudié le cas du tr. rectangle 18,24,30 (pour m'éviter les virgules).
Avec B comme origine des cordonnées (BA1) comme axe des cordonnées et (BC) comme axe des abscisses, j'ai calculé les coordonnées de G1 pour obtenir celles de D1, E1, K, pour en déduire les longueurs nécessaires,

Puis, j'ai calculé le volume V1 lié à la rotation A1D1E1 et le volume V2 du "crayon" obtenu par rotation du trapèze...
La encore, j'ai constaté que [tex]V_1\neq V_2[/tex]... Alors j'ai refait mes calculs en me disant que j'avais raté un épisode : même conclusion.
Alors j'ai aussi exprimé (calculs littéraux cette fois les dimensions du "crayon" V2 par rapport au cône V[tex]1[/tex] et j'ai calculé V1 et V[tex]2[/tex] et j'ai trouvé [tex]V_2=\dfrac 7 8 V_1[/tex] qui correspondait à mon résultat d'hier soir...
Je ne trouvais pas d'erreur...).
Et pourtant aviateur, en configuration tr rectangle trouvait (de "l'autre côté",[tex] V_1=V_2[/tex]. Je ne savais plus à quel saint me vouer... jusqu'à tout à l'heure où j'ai lu ta réponse...
Je n'avais entendu "thèorème de Guldin" alors forcément, aviateur le connaissant lui et d'autres avec lui, je me demandais pourquoi, moi, j'aurais raison contre des gars avec des connaissances supérieures aux miennes...

Je vais réfléchir à ton histoire de soustraction : j'avais déjà constaté avec surprise que [tex]V_1+V_2 < V[/tex], un peu comme le "défaut de masse" d'Einstein qui l'a mené à E=mc² , sauf que dans notre cas, c'est des Maths pas de la Physique...

@+


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#14 31-05-2018 11:24:23

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Re,

Et ça ce n'est pas la réaction d'un mec pressé, aller poser la question ailleurs en te citant :

on m'a aussi expliquer pour rendre le triangle rectangle sans en changer les " généralités " ben on déplace un sommet parallèlement à une base tel que le triangle quelconque devienne rectangle ( la surface , la distance entre le sommet et le centre de gravité , la distance entre le sommet et la base du triangle reste inchangé )

façon de quémander confirmation ou infirmation...
Toi, le premier intéressé, je ne sais pas comment tu le prends, mais moi, je ne trouve pas ça joli joli et ça me dérange aussi...

@+


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#15 31-05-2018 12:16:49

D_john
Invité

Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Bonjour à tous,

Je vois que tu progresses yoshi... ça me rappelle le truc du rectangle qu’on transforme en triangle rectangle. En voici la version chocolatée :
https://www.youtube.com/watch?v=gQ-Z3htOZ0c

Si tu ne connaissais pas le théorème de Guldin au départ, tu avais un handicap certain pour traiter ce problème. Alors voici un autre indice :
'Ensuite tu fais tourner comme demandé dans l'énoncé...

Pour le reste, vu que tu as reproché à notre interlocuteur de faire du copier/coller, je comprends fort bien sa démarche. Mais dans ce cas précis, il aurait beaucoup mieux fait de faire un copier/coller. Son message aurait été clair, précis et sans fautes d'orthographe.
Par ailleurs, on ne demande pas d'avoir fait du calcul intégral pour comprendre que la surface d'un triangle de base fixe, ne varie pas si sa hauteur est constante.

#16 31-05-2018 14:16:03

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Ave,

Si tu ne connaissais pas le théorème de Guldin au départ, tu avais un handicap certain pour traiter ce problème.

Bon, j'ai fini par m'asseoir dessus et employer des méthodes de 3e...

Mais aussi compris que trop tard que mon histoire de coeff [tex]\dfrac{1}{\sqrt[3] 2}[/tex] ne pouvait pas marcher avec le trapèze...

Il va falloir que je retourne voir ce foutu théorème : en première lecture, je n'avais pas vu d'utilisation évidente : mes méninges doivent se racornir...

La surprise de l'inégalité n'a pas trop duré, je me suis dit qu'il s'agissait de rotations... et que le volume dû à la rotation du grand triangle n'était pas égal  à la somme des volumes en rotation du petit triangle et du trapèze.
Et non pas de solides "standards" genre bâton de toblerone dans le cas des triangles.

Mais je vais relire : j'ai fait tourner le trapèze autour de sa grande base et non autour de la petite, il me semble...
Je vais voir si ça change quelque chose.

@+


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#17 31-05-2018 16:28:43

yoshi
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Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Re,...

Arf ! Je crois que je sais ce que tu veux dire :
soit un carré ABCD : qu'il tourne autour de (AB) ou autour de (CD), j'obtiendrai un cylindre de même volume.
Par contre si je le coupe selon la diagonale (AC) et que je garde le triangle ACD,
que ce triangle tourne autour de (CD) ou atour de l'axe (AB), ce n'est pas la même chose, ni le même solide obtenu.
Dans le 2e cas, j'ai l'impression d'obtenir un cylindre évidé en son centre (on aurait enlevé un cône ?...)
Le volume réel n'est pas le même dans les deux cas... Et dans ce cas avec la bonne rotation autour de (D1E1) il faut que je double le volume obtenu par rotation du triangle E1KC
Soit [tex]r=A_1D_1[/tex] et [tex]h =D_1E_1[/tex]
Volume [tex]V_1=\dfrac 1  3 \pi r^2h[/tex]

Volume [tex]V_2=\pi\dfrac 1 4 r^2h + 2\times \dfrac 1 3\pi \dfrac 1 4 r^2\dfrac 1 2 h=\dfrac 1 4\pi  r^2 h+ \dfrac{1}{12}\pi r^2 h[/tex]
Et [tex]\dfrac 1 4+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac 1 3[/tex]...

Et en fin de compte aviateur avait raison via une demo assez tarabiscotée [tex]V_1=V_2[/tex]...
J'avais raison sur la base d'une erreur de lecture d'énoncé ; donc, j'avais tort quand même : hors-sujet !

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#18 31-05-2018 17:52:36

D_john
Invité

Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

... et voilà, tu as tout compris :
Pour un trapèze, tourner autour de sa grande base, n'engendre pas le même volume qu'en tournant autour de sa petite base.

De mémoire, Guldin nous dit simplement que le volume balayé par une surface plane qui tourne autour d'un axe situé dans son plan est égal au produit de la surface par la distance de son cdg à l'axe de rotation.

C'est très pratique pour mémoriser par exemple le volume du tore et bien d'autres choses ou les retrouver rapidement.

Dans notre cas, la distance du cdg à la grande base est différente de la distance du cdg à la petite base. Mais j'ai dû te relire plusieurs fois avant de comprendre que tu ne tournais pas autour de la petite base, comme demandé dans l'énoncé.

Attention toutefois avec Guldin car il y a des subtilités d'application : si on considère le grand triangle tournant autour de son cdg, le volume balayé est nul puisqu'on tourne autour d'un axe passant par le cdg. Il faut donc considérer des surfaces situées entièrement d'un seul côté de l'axe.
Ce n'est pas explicite ici : http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … uldin.html
mais peut-être me trompe-je.
Et encore un sujet à dépoussiérer !

#19 31-05-2018 18:12:36

D_john
Invité

Re : Volume engendre par rotation autour d'une droite

Oups !
... en relisant ce document  http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … uldin.html
je viens de voir qu'il est bien spécifié que la courbe ou la surface est située d'un seul côté de l'axe de rotation.
J'apprends aussi que Guldin pourrait être un usurpateur... tu vois yoshi finalement les temps ne changent guère.

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