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#1 23-05-2018 19:31:49
- ccapucine
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Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy
Bonjour,
il y a beaucoup de théorèmes qui donnent des conditions suffisantes pour qu'un problème de Cauchy admette une solution unique. Parcontre je trouve pas de conditions suffisantes, telle que si cette condition suffisante n'est pas satisfaite alors il n y a pas unicité. Par exemple le problème de Cauchy
$$
\begin{cases}
y'= y^{3/4},\\
y(0)=0
\end{cases}
$$
n'admet pas une solution unique. Pourquoi? C'est quoi la condition qui manque pour ne pas avoir l'unicité de la solution de ce problème?
Merci par avance pour votre aide.
Dernière modification par ccapucine (23-05-2018 19:32:14)
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#2 26-05-2018 14:59:03
Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy
Bonjour,
$f(x)=x^{3/4}$ donne $f'(x)=\frac{3}{4x^{1/4}}$ n'est pas localement Lipschitz en 0.
Bonne journée.
Dernière modification par Dattier (26-05-2018 15:00:05)
Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés
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#3 27-05-2018 18:25:17
- ccapucine
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Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy
Comment on montre qu'il y a une infinité de solutions à ce problème? On remarque déjà la solution triviale, comment obtenir les autres?
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#4 27-05-2018 23:18:12
- Wiwaxia
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Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy
Bonjour,
L'équation initiale implique pour tout (y) strictement positif:
y-3/4y' = 1 d'où: 4y1/4 = x - C ,
soit encore y = [(x - C)/4]4 ,
ce qui constitue un élément de réponse pour discuter de la question posée ...
Le résultat n'est évidemment valable que sur le domaine (x > C).
La condition initiale impose par continuité en (0, 0) C = 0 , et conduit à la solution particulière:
y = (x/4)4 ,
apparemment unique et valable par extension sur le semi-ouvert [0 ; +Inf[ .
Dernière modification par Wiwaxia (29-05-2018 10:31:23)
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#5 28-05-2018 12:44:34
- D_john
- Invité
Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy
Salut,
J’ai l’impression qu’il n’y a qu’une solution pour [tex] x \in \mathbb{R} [/tex], mais si [tex] x \in \mathbb{C} [/tex] ?
Bon, c'était juste pour écrire mon premier latex... Ce serait dommage que soit une sottise !
A+
#6 29-05-2018 10:02:11
- Wiwaxia
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- Messages : 407
Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy
C'est effectivement plus sournois qu'il y paraît, puisque l'équation différentielle admet aussi pour solution triviale:
y0 = 0 , que j'avais laissée de côté.
On est ainsi conduit à une infinité de solutions continues et continûment dérivables, dépendant d'une constante réelle (C) supérieure ou égale à zéro, et vérifiant:
# y = 0 (si x <= C) ;
# y = [(x - C)/4]4 (si x > C).
Le problème est bien présenté ici.
Dernière modification par Wiwaxia (29-05-2018 10:26:23)
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