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#1 23-05-2018 19:31:49

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy

Bonjour,
il y a beaucoup de théorèmes qui donnent des conditions suffisantes pour qu'un problème de Cauchy admette une solution unique. Parcontre je trouve pas de conditions suffisantes, telle que si cette condition suffisante n'est pas satisfaite alors il n y a pas unicité. Par exemple le problème de Cauchy
$$
\begin{cases}
y'= y^{3/4},\\
y(0)=0
\end{cases}
$$
n'admet pas une solution unique. Pourquoi?  C'est quoi la condition qui manque pour ne pas avoir l'unicité de la solution de ce problème?
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par ccapucine (23-05-2018 19:32:14)

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#2 26-05-2018 14:59:03

Dattier
Banni(e)
Inscription : 10-09-2017
Messages : 533
Site Web

Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy

Bonjour,

$f(x)=x^{3/4}$ donne $f'(x)=\frac{3}{4x^{1/4}}$ n'est pas localement Lipschitz en 0.

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (26-05-2018 15:00:05)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#3 27-05-2018 18:25:17

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy

Comment on montre qu'il y a une infinité de solutions à ce problème? On remarque déjà la solution triviale, comment obtenir les autres?

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#4 27-05-2018 23:18:12

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 407

Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy

Bonjour,

L'équation initiale implique pour tout (y) strictement positif:

y-3/4y' = 1 d'où: 4y1/4 = x - C ,
soit encore y = [(x - C)/4]4 ,
ce qui constitue un élément de réponse pour discuter de la question posée ...
Le résultat n'est évidemment valable que sur le domaine (x > C).

La condition initiale impose par continuité en (0, 0) C = 0 , et conduit à la solution particulière:
y = (x/4)4 ,
apparemment unique et valable par extension sur le semi-ouvert [0 ; +Inf[ .

Dernière modification par Wiwaxia (29-05-2018 10:31:23)

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#5 28-05-2018 12:44:34

D_john
Invité

Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy

Salut,

J’ai l’impression qu’il n’y a qu’une solution pour [tex] x \in \mathbb{R} [/tex], mais si [tex] x \in \mathbb{C} [/tex] ?

Bon, c'était juste pour écrire mon premier latex... Ce serait dommage que soit une sottise !
A+

#6 29-05-2018 10:02:11

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 407

Re : Non unicité de la solution d'un problème de Cauchy

C'est effectivement plus sournois qu'il y paraît, puisque l'équation différentielle admet aussi pour solution triviale:
y0 = 0 , que j'avais laissée de côté.

On est ainsi conduit à une infinité de solutions continues et continûment dérivables, dépendant d'une constante réelle (C) supérieure ou égale à zéro, et vérifiant:
# y = 0   (si x <= C) ;
# y = [(x - C)/4]4   (si x > C).

Le problème est bien présenté ici.

Dernière modification par Wiwaxia (29-05-2018 10:26:23)

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