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#1 19-05-2018 19:48:58

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Convergence d'une suite de Picard

Bonjour,
on a le problème de Cauchy
$$
\begin{cases}
y'= \cos(y)\\
y(0)=0
\end{cases}
$$
La question est: est ce que la suite de Picard associé à ce problème de Cauchy converge?
En calculant les trois premiers membre, on obtient que:
$y_0=0$, $y_1(x)= x$, $y_2(x)= \sin(x)$, $y_3(x)= \displaystyle\int_0^x \cos(\sin(s)) ds$ et on ne peut pas explicitement calculer ce terme. On peut donc dire que cette suite de Picard ne converge pas.
La question que je me pose c'est: sans passer par le calcul, quand est-ce qu'une suite de Picard ne converge pas?
Merci par avance pour l'aide.

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#2 21-05-2018 13:53:25

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Convergence d'une suite de Picard

Bonjour
Ce n'est pas parce que l'on ne sait pas calculer la suite explicitement qu'elle ne converge pas.
Pour que tu y vois plus clair il serait bien que tu énonces le théorème du point fixe de Picard.

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#3 21-05-2018 18:12:29

D_john
Invité

Re : Convergence d'une suite de Picard

Bonsoir,

Même réflexion concernant la convergence !

Dans le théorème classique du point fixe, la condition de convergence est simple : |y’| < 1. C’est la toile d’araignée.

S’il  faut étendre ça à un espace dans lequel les points sont des fontions, c’est bien au delà de mes connaissances. De plus, toute recherche avec google me renvoie à des tas de produits surgelés...

Plus sérieusement, si on développe le cos en série, la suite devient un ensemble de polynômes qui, sur un intervalle pas trop étendu, doivent s’approcher de la solution de l’ED. On obtient une sorte de développement limité au voisinage de 0 et +... L’obtenir à la main est probablement impossible après y4 mais en calcul formel, qui sait ?

De plus, il me semble qu'un polynôme est toujours calculable sur un intervalle borné. Du coup, je ne comprends plus la quetion posée par la convergence de cette suite.
Le sujet est intéressant et l’avis d’un expert serait le bienvenu.

Vifs remerciements anticipés.

#4 21-05-2018 18:56:19

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Convergence d'une suite de Picard

Rebonjour
Je conseille d'appliquer le théorème du point fixe de Picard à l'espace des fonctions continues sur [-a,a]  (a étant un réel arbitraire)
muni de la norme de la CVU.
Maintenant le résultat n'est que théorique la suite y_n va converger vers la solution dans cet espace . Mais elle ne se calcule pas explicitement alors que la solution exacte se calcule explicitement.
Cette exercice n'a donc qu'un seul intérêt théorique.

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