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#1 18-05-2018 11:21:39

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Invité

Equation

Bonjour à tous,

Pour les besoins de mon travail j'ai une équation (que je sais juste) dont je dois isoler un terme.
Sauf que ca fait un moment que j'ai quitter les bancs de l'école et je ne m'en sors pas !
Si quelqu'un voulait bien m'aider svp ...


Voici ce que j'ai:

Tx = (1 + Ty)^(-N)
Vp = (V * Ty) / ((1 - Tx) / (1 + Ty))

Je veux calculer Ty

Merci pour votre aide.

#2 18-05-2018 13:13:59

yoshi
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Re : Equation

Bonjour,

Est-que c'est ça que tu veux dire ?
[tex]V_p=\dfrac{\quad V\times T_y\quad}{\dfrac{1-T_x}{1+T_y}}[/tex]

Si oui, alors tout d'abord :
[tex]V_p=\dfrac{V\times T_y\times(1+T_y)}{1-T_x}[/tex]                              [tex]\left(\dfrac{\;\;a\;\;}{\dfrac b c}=\dfrac{a\times c}{b}\right)[/tex]
Ensuite
[tex]Tx= (1 + T_y)^{-n}=\dfrac{1}{(1+T_y)^n}[/tex]                                  [tex] \left(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\right)[/tex]

[tex]1-Tx=1-\dfrac{1}{(1+T_y)^n}=\dfrac{(1+T_y)^n-1}{(1+T_y)^n}[/tex]

Et je remplace :

[tex]V_p=\dfrac{V\times T_y\times(1+T_y)}{\dfrac{(1+T_y)^n-1}{(1+T_y)^n}}=\dfrac{V\times T_y\times(1+T_y)\times (1+T_y)^n}{(1+T_y)^n-1}=\dfrac{V\times T_y\times (1+T_y)^{n+1}}{(1+T_y)^n-1}[/tex]

Soit
[tex]V_p=\dfrac{V\times T_y\times (1+T_y)^{n+1}}{(1+T_y)^n-1}[/tex]

D'où
[tex]V_p\times((1+T_y)^n-1)=V\times T_y\times (1+T_y)^{n+1}[/tex]

D'où
[tex]\dfrac{(1+T_y)^n-1}{T_y\times(1+T_y)^{n+1}}=\dfrac{V}{V_p}[/tex]

Et je ne suis pas sûr qu'on puisse aller plus loin ; en tous cas je suis moi, incapable d'écrire quelque chose comme [tex]T_y=\cdots[/tex]

Reste à savoir
- si une valeur approchée (et avec quelle précision ?) conviendrait,
- si n est grand ou pas
- si la valeur de Ty attendue est faible (<1) ou plus grande

Selon ces réponses, alors 1ere approximation :
[tex](1+T_y)^n-1\approx (1+T_y)^n[/tex]

et
[tex]\dfrac{(1+T_y)^n-1}{T_y\times(1+T_y)^{n+1}}\approx \dfrac{(1+T_y)^n}{T_y\times(1+T_y)^{n+1}}[/tex]
(Pour n=10 et [tex]T_y=1,1[/tex] l'écart entre les 2 quotients est de l'ordre de 0,0003)

Avec
[tex]\dfrac{(1+T_y)^n}{T_y\times(1+T_y)^{n+1}}= \dfrac{1}{T_y\times(1+ T_y)}[/tex]

Donc enfin

[tex]\dfrac{1}{T_y\times (T_y+1)}\approx\dfrac{V}{V_p}[/tex]


Et on aboutira à devoir résoudre une équation du 2nd degré, à savoir :
[tex](T_y)^2+T_y -\dfrac{V_p}{V} =0[/tex]
Discriminant [tex]\Delta=1+\dfrac{4V_p}{V}[/tex]
Si aucune des 2 valeurs $V$ et $V_p$ n'est négative, cette équation admet 2 solutions :
[tex]T'_y=\dfrac{-1-\sqrt{\Delta}}{2}[/tex]   et   [tex]T"_y=\dfrac{-1+\sqrt{\Delta}}{2}[/tex]

Peux-tu nous donner les précisions supplémentaires attendues ?

J'espère ne pas avoir fait d'erreurs, je dois m'absenter...

Je vérifierai d'ici 1h /1 h 30

@+

[EDIT] Apparemment, pas d'erreurs...

Dernière modification par yoshi (18-05-2018 14:27:37)


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#3 18-05-2018 14:07:19

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Invité

Re : Equation

Merci beaucoup Yoshi d'avoir prit le temps de répondre.

Pour répondre à test question:
- si une valeur approchée (et avec quelle précision ?) conviendrait,
   => J'ai besoin d'une précision au millième.
- si n est grand ou pas
   => n varie entre 24 et 63
- si la valeur de Ty attendue est faible (<1) ou plus grande
   => Ty varie entre 4 et 15 (à la louche)


Mon but est effectivement d'avoir quelque chose du genre Ty = ...

Pour expliquer un peu plus la problématique, ces formules servent à passer d'un TEG à un coefficient de leasing et vice et versa

Les formules que j'ai donné (fonction VPM() d'Excel) dans mon premier message servent à passer du TEG vers le coefficient.
Pour faire l'inverse, les commerciaux utilisent un énorme tableau Excel qui donne pour un TEG variant de 5% à 80% (avec une précision de 0,2) et une période variant de 24 à 63 mois tous les coefficients calculés à partir des formules que j'ai donné. Ce qui leur permet de trouver le TEG à partir d'un coefficient qu'ils auront choisi.

Je suis développeur et je suis censé automatiser cela pour notre application interne. La solution de facilité serait d'enregistrer en base de données ce tableau et de bêtement chercher un coefficient pour remonter au TEG. Mais cela ne serait pas très optimisé et encore moins élégant.

C'est pourquoi je cherche d'abord à voir s'il ne serait pas possible de le faire mathématiquement.

La fonction en Php qui me permet de passer du TEG au coefficient (équivalent du VPM() d'Excel) est

function vpm($taux, $npm, $va, $periodicite = 12) {
        $taux = $taux / 100 / $periodicite;

        $tauxAct = pow(1 + $taux, -$npm);

        $vpm = ($va * $taux / (1 - $tauxAct) ) / (1 + $taux);

        return round($vpm, 3);
}
 

avec:
$taux = TEG en poucentage

$npm = nombre de périodes voulues

$va = montant actuel (toujours 100 pour avoir le coef nominal)
$periodicité = periode de remboursement (12 pour mensuel, 4 pour trimestrielle)

Par exemple, vpm(21.248, 63, 100, 12) = 2,601

Mon but serait de pouvoir partir de ce 2,601 pour retomber sur 21,248

N'hésites pas à demander si tu veux plus de précisions.

#4 18-05-2018 14:57:53

yoshi
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Re : Equation

Salut,

Reprends mon post ci-dessus, je n'avais pas vu ta réponse et j'ai donc ajouté des choses que tu n'avais pas vues.

Avec ce que ru dis, ça devrait coller...
Il me reste à vérifier si à à partir d'un $V_P* et d'un V je trouve le bon $T_y$

Peux-tu me donner qq exemples s'il te plait de V et [tex]V_p[/tex] ?

Je voudrais tester [tex]T_y=\frac{-1+\sqrt{\Delta}}{2}[/tex]  avec [tex]\Delta=1+\dfrac{4V_p}{V}[/tex]

Pour n=24 et Ty=4, valeurs mini, en utilisant  [tex] \dfrac{1}{T_y\times(1+ T_y)}[/tex] à la place de [tex]\dfrac{(1+T_y)^n-1}{T_y\times(1+T_y)^{n+1}}[/tex]

je remplace [tex]\dfrac{1}{20}=0.05[/tex] par [tex]\dfrac{5^{24}-1}{4\times 5^{25}}=0.0499999999999999991611392 [/tex], j'ai une erreur de l'ordre de [tex]10^{-18}[/tex], hors de portée des calculettes classiques, et même d'Excel...

@+


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#5 18-05-2018 16:22:47

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Invité

Re : Equation

Re,

Comme demandé, voici quelques exemples de correspondances à partir du TEG vers le Coef:

Malheureusement, en faisant ces exemples, je me suis rendu compte que j'ai dis une grosse bêtise dans ma 2eme réponse. J'avais dis que Ty varie entre 4 et 15 mais c'est totalement faux. Il s'agit d'un pourcentage (TEG) qu'il faut diviser par 12 (si on ne considère que des périodes mensuelles, 4 pour les trimestrielles mais passons). Désolé pour cette erreur, en espérant que cela ne fausse pas les calculs !!

nous fixons ces 2 valeurs
N = 33
V = 100

Et donc les exemples de correspondance.

Pour Ty = 0,014746666666667  (17,696% / 100 / 12) => Vp = 3,793
Pour Ty = 0,015306666666667 (18,368% / 100 / 12) => Vp = 3,824
Pour Ty = 0,030826666666667 (36,992% / 100 / 12) => Vp = 4,726
Pour Ty = 0,039026666666667 (46,832% / 100 / 12) => Vp = 5,236
Pour Ty = 0,058686666666667 (70,424% / 100 / 12) => Vp = 6,539   

Merci encore pour ton aide

#6 18-05-2018 18:31:03

yoshi
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Re : Equation

Re,

Alors en lisant ça :
17,696% / 100 / 12
Deux remarques
1. C'est (17.696/100)/12 et non (17.696%/100)/12  parce que 17,696% c'est déjà 17,696/100...
   Mon approximation est totalement fausse
   [tex](1+0.17696/12)^{24}-1 \approx 0.42096441191050027[/tex]  et  [tex](1+0.17696/12)^{24}\approx 1.42096441191050027[/tex]
   On ne peut pas se permettre cette approximation..
   Le quotient sans l'arrondi est : 19.797515163471335 et avec :  66.82646726329969
   Retour à la case départ...
2. Ca m'inquiète un peu... La formule dont tu es parti est-elle bien :
[tex]V_p=\dfrac{\quad V\times T_y\quad}{\dfrac{1-T_x}{1+T_y}}[/tex] ? Que représente Tx ?

Dans ce cas, mes calculs théoriques sont toujours valables jusqu'à l'arrondi. Mais là, je suis incapable de trouver [tex]Ty=...[/tex]
Je vais voir si je peux simplifier beaucoup :
On peut simplifier la fraction par Ty, mais le numérateur devient alors une somme de n-1 termes dont n-2 sont les produits des coefficients du binôme de Newton
[tex](Ty)^{n-1}+C_n^1(Ty^{n-2})+C_n^2(Ty)^{n-3})+C_{24}^{n-3}(Ty)^{n-4}+...+C_n^1Ty+1[/tex]

Pour n=24, [tex]C_{24}^1=24[/tex] mais [tex]C_{24}^{3}=2024[/tex] ... [tex]C_{24}^{12}=2 704 156[/tex]

@+


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#7 19-05-2018 09:27:09

yoshi
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Re : Equation

Salut,

Si je ne suis pas capable d'écrire la formule littérale donnant $T_y$, après réflexion une idée m'est venue, en chercher directement une valeur approchée en utilisant le langage Python.
Je dois d'abord vérifier si le quotient des approximations que j'envisage du numérateur et su dénominateur obtenus ci-dessus, est acceptable...
Je vais utiliser 30 chiffres après la virgule...

Si oui, alors en utilisant un bout de programme Python que j'ai écrit il y a quelques années, alors je calculerai une valeur approchée de $T_y$

@+


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#8 21-05-2018 13:48:38

une proposition
Invité

Re : Equation

Bonjour à tous                       
                       
Je me permets de vous faire les remarques suivantes :                       
                       
REMARQUE 1                       
                       
ADS a écrit :                       
Pour faire l'inverse, les commerciaux utilisent un énorme tableau Excel qui donne pour un TEG variant de 5% à 80% (avec une précision de 0,2) et une période variant de 24 à 63 mois tous les coefficients calculés à partir des formules que j'ai donné. Ce qui leur permet de trouver le TEG à partir d'un coefficient qu'ils auront choisi."                       
                       
Cet "énorme tableau" pourrait prendre le nom de tables financières, tables principalement éditées et utilisées….jadis, autrefois par les financiers.                       
                       
Je comprends bien que l'on débute ce tableau à 5 % (l'an) : il s'agit alors d'un organisme financier "solidaire".                       
A 20 % (l'an) cet "organisme financier" gagne bien sa vie.                       
A 50 % (l'an) cet "organisme financier" pratique les taux de non amis européens qui habite la Sicile…                       
A 80 % (l'an) on est au stade des amis de AL CAPONE, le célèbre …. Des USA.                       
Heusement, on va dire que par "bonté" cet organisme ne va pas au-delà de 80 % (l'an)                       
                       
REMARQUE 2                       
                       
ADS a écrit  :                       
                       
"Et donc les exemples de correspondance.                       
Pour Ty = 0,014746666666667  (17,696% / 100 / 12) => Vp = 3,793                       
Pour Ty = 0,015306666666667 (18,368% / 100 / 12) => Vp = 3,824                       
Pour Ty = 0,030826666666667 (36,992% / 100 / 12) => Vp = 4,726                       
Pour Ty = 0,039026666666667 (46,832% / 100 / 12) => Vp = 5,236                       
Pour Ty = 0,058686666666667 (70,424% / 100 / 12) => Vp = 6,539"                         
                       
                       
                       
J'aimerais avoir le "détail" des "tous" les calculs intermédiaires qui permettent de trouver :                       
                       
Pour Ty = 0,015306666666667 (18,368% / 100 / 12) => Vp = 3,824                       
avec :                       
N = 33                       
V = 100                       
                       

REMARQUE 3                       
                       
Le "TEG" permet de connaître le taux d'intérêt pratiqué dans une opération de leasing.                       
                       
Il serait alors "facile" de construire le "tableau de remboursement" de ce leasing.                       
                       
Pouvez vous présenter le "tableau de remboursement" du leasing qui répond aux conditions suivantes                        
                       
Pour Ty = 0,015306666666667 (18,368% / 100 / 12) => Vp = 3,824                       
avec  :                       
N = 33                       
V = 100                       
                       
REMARQUE 4                        
                       
Vous demandez de résoudre :                       
                       
Tx = (1 + Ty)^(-N)                       
Vp = (V * Ty) / ((1 - Tx) / (1 + Ty))                       
                       
A condition de "bien lire" et "bien traduire" on constate que "Ty" se trouve à la fois                       
* au numérateur                       
* et au dénominateur.                       
                       
Depuis plus d'un demi-siècle je cherche la "formule " qui permettrait de trouver la solution de ce genre de problème.                       
                       
"On" m'avait appris à résoudre ce "type" de problème par un "calcul approximatif" et interpolation…..on avait un résultat approximatif……bien sur…                       
                       
De nos jours, toujours par approximation, grace à un tableur ou une calculatrice….on résoud ce problème à 1/1000 ou 1/10 000 ou 1/100 000 et le taux trouvé satisfait tant les organismes financiers que les emprunteurs ……

#9 21-05-2018 18:41:26

yoshi
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Re : Equation

Bonsoir,

Merci de tes remarques.

Pour Ty = 0,039026666666667 (46,832% / 100 / 12) => Vp = 5,236
Pour Ty = 0,058686666666667 (70,424% / 100 / 12) => Vp = 6,539

Cela m'avait échappé, tu m'as alerté...
Comment des taux pareils sont-ils possibles ?
Il me semble avoir lu qu'en France, pour 2018, le taux d'usure était de l'ordre de 21%...

@+


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#10 21-05-2018 21:03:21

une proposition
Invité

Re : Equation

yoshi : vous avez raison

Pour plus de précision lire :

https://www.banque-france.fr/statistiqu … aux-dusure

#11 22-05-2018 07:30:30

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Invité

Re : Equation

Bonjour à vous,
Désolé, j'étais occupé ce weekend, je prend connaissance de vos messages seulement maintenant.

Je vais revenir un peu plus tard pour les détails que vous me demandez, je répond juste rapidement sur la question du taux. Evidement que ma société n'applique pas des taux de 80% ! Non seulement ce ne serait pas légal (taux d'usure) mais surtout nous n'aurions pas beaucoup de client :)
Pourquoi ce tableau à t-il était étalé jusque là ? franchement j'en ai aucune idée, j'ai pris mes fonctions il y à 6 mois dans cette société, je gère l'informatique mais j'avoue que la finance n'est pas vraiment mon truc. Je vais poser la question à mon boss quand il aura 2 minutes, ca m'intrigue autant que vous ^^

Je reviens plus tard pour répondre à vos questions, en tous cas merci de votre aide.

#12 22-05-2018 12:09:13

yoshi
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Re : Equation

Re,

Je mets au point un petit programme en Python, qui fera le calcul d'une valeur approchée de Ty.
Pour l'instant, je tombe sur des résultats incohérents que ce soit par dichotomie ou la méthode de Newton.
Je vais revoir la formule que j'avais établie...
Il faudrait quelques exemples de valeurs avec des Ty compris ente 5% et 21%.

@+
[EDIT]
J'ai fait l'essai inverse :
à partir de
[tex]\dfrac{\quad 100\times Ty\quad}{\dfrac{1-Tx}{1+Ty}}=\dfrac{100\times Ty\times(1+Ty)}{1-Tx}[/tex]
soit :
[tex]V_p=\dfrac{100\times y\times(1+Ty)}{1-Tx}[/tex]
J'ai calculé Vp pour Ty=0.17696/12 et n=33

Avec la précision Python standard :
Ty=0.014746666666666668
1+Ty=1.014746666666666668
Tx=1.014746666666666668^{-33}=0.6168763187196067
1-Tx= 0.3831236812803933

Vp=3.9058224734202165  et non les 3.793 annoncés

Avec une précision demandée de 30 décimales :
Ty=0.0147466666666666666666666666667
1+Ty=1.0147466666666666666666666666667
Tx= 0.616876318719607103233821839131
1-Tx =0.383123681280392896766178160869

Vp=3.90582247342022057589207045871 toujours pas les 3.793...

Alors où se situe le problème ?
Valeurs données pour exemple fausses ?
Logiciel calcule faux (ça se saurait...) ? --> L'essai avec le tableur OpenOffice Calc me donne 3,90582247342. Dans les mêmes eaux...
Formules fausses ? Une faute de frappe est vite arrivée...
n=33 n'est pas la bonne durée ?

Si je pars de Vp=3.793, je n'ai donc aucune chance d'obtenir Ty=0.01474666666666667...

2e essai ce matin.
En partant de 18.368 % je suis censé obtenir Vp=3.824.
Résultat obtenu : 3.94187338470789747593920404979 toujours faux et écartn grosso modo, de 0.12

Dernière modification par yoshi (23-05-2018 09:24:18)


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