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#1 07-05-2018 15:51:01

courforset
Invité

Problème : Méthode d'organisation

Bonjour,
Je suis éducateur sportif & je dois souvent organiser des rencontres (compétition, tournois, etc) avec une organisation qui me semble très complexe. J’ai déjà essayé de trouver des méthodes pour simplifier l’organisation mais c’est toujours assez complexe.
Je vous expose mon problème.

J’ai 21 équipes qui doivent se rencontrer sur 10 ateliers. Les équipes doivent toutes se rencontrer au moins une fois. Elles ne peuvent pas refaire le même atelier, ni être à plus de deux équipes sur un même atelier. Il est possible d’incorporer un 11ème atelier dit de repos, mais il ne comptera pas comme une rencontre entre deux équipes.

Je suis souvent confronté à ce type de problème & je me demandais s’il n’existait pas une solution mathématique.

Si quelqu'un à une idée, en vous remerciant.

Ci-joint la dernière rencontre que nous avons organisé.
Les équipes devaient toutes se rencontrer sur 7 ateliers sportifs différents dont l’atelier 5 dit de repos mais qui ne compte pas dans les rencontres, 4 équipes maximum par atelier (mais opposé uniquement 1 contre 1).

Tour 1
Équipes 1 contre 2 Atelier 3
Équipes 3 contre 4 Atelier 3
Équipes 5 contre 6 Atelier 4
Tour 2
Équipes 1 contre 6 Atelier 1
Équipes 4 contre 5 Atelier 1
Équipes 2 contre 3 Atelier 6
Tour 3
Équipes 1 contre 3 Atelier 2
Équipes 2 contre 5 Atelier 2
Équipes 4 contre 6 Atelier 6
Tour 4
Équipes 1 contre 4 Atelier 4
Équipes 2 contre 6 Atelier 7
Équipes 3 contre 5 Atelier 7
Tour 5
Équipes 2 contre 4 Atelier 5
Équipes 3 contre 6 Atelier 5
Équipes 1 contre 5 Atelier 6
Tour 6
Équipes 2 contre 3 Atelier 1
Équipes 4 contre 6 Atelier 2
Équipes 1 contre 5 Atelier 5
Tour 7
Équipes 5 contre 6 Atelier 2
Équipes 2 contre 3 Atelier 4
Équipes 1 contre 4 Atelier 7

#2 14-05-2018 13:24:02

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 50

Re : Problème : Méthode d'organisation

Bonjour,

Je crois que ce problème admet une solution graphique relativement simple (quoi que j'ai perdu beaucoup de temps avant de la trouver !).

Sur la matrice des rencontres d' indices (i, j) relatifs aux équipes présentes, l'ensemble des matchs (rencontres, tournois) figure sur le domaine triangulaire supérieur (j > i), situé au-dessus de la diagonale principale définie par la relation: i = j .
Le nombre total de rencontres correspond au nombre de combinaisons de deux indices: Ntm = Neq(Neq - 1)/2 = 21*20/2 = 210 .

Par ailleurs le nombre d'équipes en compétition étant impair (Neq = 21), le nombre de matchs est multiple du précédent:
on peut en effet écrire: Neq = 2K + 1 , d'où: Ntm = (2K + 1)*(2K)/2 = (2K + 1)*K = Neq * K ,
et regrouper les rencontres sur un nombre d'ateliers (Nat = K = 10) dont chacun accueillera (Neq) rencontres.

La partition du domaine triangulaire en (K) sous-ensembles est immédiate, en raison de la parité de (K): il suffit d'apparier les 2K = 20 rangées parallèles à la diagonale principale, de telle sorte que le nombre total d'éléments reste égal à Neq, soit 21.

Voici l'aspect du tableau obtenu:

Tableau_1

La simplicité du graphique vient finalement de ce que l'on a (K) pair, donc un nombre d'équipes de la forme: Neq = 4K' + 1
soit encore: Neq = 1 (mod 4).
Pour toute autre valeur, on pourra ajouter des équipes fictives (et donc des rencontres virtuelles) afin de se ramener au cas précédent.
Je n'ai pas le temps de poursuivre, cependant la programmation d'un tableau ne devrait pas présenter de difficultés.

Dernière modification par Wiwaxia (22-05-2018 12:18:04)

Hors ligne

#3 14-05-2018 16:16:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 130

Re : Problème : Méthode d'organisation

Bonjour,

Si j'ai bien compris, ce que notre interlocuteur veut faire est assimilable à un système d'appariement utilisé dans les tournois d'échecs, le système dit "toutes rondes" : chaque joueur rencontre deux fois chacun des autres, une fois avec les Blancs, une fois avec les Noirs.
Le 1er n° ayant, par convention, les Blancs. En cas de nombre de joueurs impair, à chaque tour il y a un exempt différent...
Ci-dessous jusqu'à 16 joueurs (la page suivante que je n'ai pas scannée, va jusqu'à 23/24...)

180514052405648649.jpg 

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#4 15-05-2018 07:40:59

courforset
Invité

Re : Problème : Méthode d'organisation

Bonjour,
Je vous remercie pour vos réponses, elles vont m'aider à y voir plus clair.
Bonne journée à vous

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