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#1 02-05-2018 13:42:27

Hibou80
Invité

Système d'équations

Bonjour,

J'aimerais pouvoir résoudre dans $ \mathbb{C} $, le système suivant à $ 4 $ equations :
$ \begin{cases} x+2y+3z+4t+3xy-2zt = 1 \\ 4x+y+2z+3t+2xy-4zt = 3 \\ 3x+4y+z+2t-xy+zt = -1 \\ 2x+3y+4z+t+4xy+2zt = 2 \end{cases} $
mais, je n'arrive pas à le faire malheureusement.
L'idée est de pouvoir transformer le système en un autre système de la forme :
$ \begin{cases} a_{11}(x+y)+a_{12}(z+t)+a_{13}xy+a_{14}zt = b_{1} \\ a_{21}(x+y)+a_{22}(z+t)+a_{23}xy+a_{24}zt = b_{2} \\
a_{31}(x+y)+a_{32}(z+t)+a_{33}xy+a_{34}zt = b_{1} \\ a_{41}(x+y)+a_{42}(z+t)+a_{43}xy+a_{44}zt = b_{4} \end{cases} $
tel que : $ A = (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 4} $ est une matrice inversible, qui est facile à résoudre dans ce cas là, non ? Mais, je ne sais pas
comment le faire. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

#2 03-05-2018 21:20:37

Dattier
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Re : Système d'équations

Salut,

Cela fait un moment que j'y réfléchie, j'ai bien trouvé un moyen (partiel) mais c'est trés laborieux.
D'où vient ce probléme, si c'est un problème de cours, comment s'appelle le chapitre du cours dans lequel on t'a donné cet exo.

Cordialement.

Dernière modification par Dattier (04-05-2018 10:23:35)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#3 04-05-2018 14:10:08

Hibou80
Invité

Re : Système d'équations

Bonjour Dattier :
Merci pour l’intérêt que tu portes à mon sujet.
en fait, c'est moi tout seul qui a crée ce problème suite au lecture du lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur_de_Lorenz
Mon système est simplement pour m'entraîner un peu afin de me préparer à résoudre le système d'attraction de Lorenz qui représente l'un des problèmes de Smale non encore résolu jusqu'à présent. Regarde ici : http://smf4.emath.fr/Publications/Gazet … _11-27.pdf , page : [tex]12[/tex].
Peux tu me montrer comment tu as procédé Dattier pour résoudre ce système que j'ai présenté plus haut ?
Merci d'avance.

#4 04-05-2018 15:11:03

Dattier
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Re : Système d'équations

Bonjour,

Ce procédé permet de résoudre un système non linéaire à plusieurs variables :

Mais comme je te l'ai dit, j'obtiens une solution partielle, par exemple :
Le $y$ que tu cherches est une des solutions de l'équation :
$8448y^8-13347746y^3-106784y^7-2898264y^6+4165284y^5+\\14538926y^4-8488989y^2+4379004y-3929751=0$
Le $t$ que tu cherche vérifie :
$-1796416t-24862090t^4+7605982t^6-32516275t^5+912384t^9-1603776t^8+\\11541928t^7+42432+12545032t^2+20562084t^3=0$
Attention toutes les racines ne correspondent par forcément à une solution.

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (04-05-2018 16:40:07)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#5 04-05-2018 16:40:58

Dattier
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Re : Système d'équations

outil qui peut être utilisée, mot clef résultant : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sultant


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#6 04-05-2018 16:46:18

Dattier
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Re : Système d'équations

Méthode on procéde a des changements de variables successif, jusqu'à n'avoir plus qu'un système de 2 équations à 2 inconnus auxquels on applique le résultant.


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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