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VEIL

Invité

Etude d'une suite pour tout n >= 1

Bonjour à tous,

J'ai pour vendredi des exercices à préparer mais seul le premier me bloque. La question est la suivante :

Etudier la limite de la suite définie pour tout n>=1 par Un = (ln(n)/ln(n+1))^(nln(n+1))

J'ai essayé d'utiliser les règles d'Alembert pour étudier sa limite en +l'infini en utilisant Un+1/Un pour arriver a une limite. Cependant la puissance me gène et je trouve des résultats du type (ln(n+1)²/ln(2n+2))^((n+1)ln(n+2)-nln(n+1)

Je simplifie le tout j'arrive a ((2ln(n)+2ln(1+(1/n)))/(ln(2)+ln(n)+ln(1+1/n)))^^(nln(n+2)+ln(n+2)-nln(n+1))

Mais je n'arrive pas a continuer pour calculer sa limite peut-être je me suis tromper quelque part ou je n'ai pas utiliser la bonne méthode.

Dans les deux cas si une personne pourrais m'aider a comprendre comment en venir à bout je lui en serais reconnaissant.

Merci d'avance

Fred

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Re : Etude d'une suite pour tout n >= 1

Bonjour,

  Ce n'est pas une bonne idée ici d'utiliser la règle de d'Alembert. A mon avis, ici, il faut procéder en deux étapes :

1. Commencer par écrire $u_n$ sous la forme $u_n=\exp(a\ln b)$ puisque $u_n$ est de la forme $a^b$;

2. Faire des développements limités successifs (simplement au premier ordre) pour déterminer le comportement de ta suite.

Sauf erreur de ma part, sa limite doit être $e^{-1}$. Dis-nous si tu arrives ou si tu bloques encore quelque part.

F.

VEIL

Invité

Re : Etude d'une suite pour tout n >= 1

bonjour oui petite question pour le DL de lnn / ln (n+1) y'a t'il une methode avec ln a / ln b ?

merci pour ton aide

VEIL

Invité

Re : Etude d'une suite pour tout n >= 1

ou alors on part sur du exp^(ln n ) = n du coup ca ferais n/n+1 ?

Fred

Administrateur

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Re : Etude d'une suite pour tout n >= 1

On écrit, en utilisant les propriétés de la fonction logarithme, $\ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)$.

VEIL

Invité

Re : Etude d'une suite pour tout n >= 1

Je ne vois pas comment continuer plus loin parce que sinon j'arrive à e^0 ce qui est faux

Fred

Administrateur

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Re : Etude d'une suite pour tout n >= 1

Ce que tu as fait est très abusif... Il faut aller doucement sans se permettre des simplifications hasardeuses (je suis sûr qu'il y a plein de formes indéterminées dans ce que tu as écrit).
Par exemple, pour simplifier le double logarithme :
\begin{align*}
\ln\left(\frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}\right)&=-\ln\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)\\
&=-\ln\left(\frac{\ln n+\ln(1+1/n)}{\ln(n)}\right)\\
&=-\ln\left(\frac{\ln n+\frac 1n+o(1/n)}{\ln n}\right)\\
&=-\ln\left(1+\frac{1}{n\ln n}+o(1/n\ln n)\right)\\
&=\cdots
\end{align*}
(bon je m'arrête là sinon je fais tout l'exercice!)

F.

VEIL

Invité

Re : Etude d'une suite pour tout n >= 1

ah ok je ne le voyait pas du tout sous cet angle encore merci