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dominique khalo

Invité

CNS de convergence des v.a.r

Salut, pouvez vous m'aider s'il vous plait:

soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace probabilisé ([tex]\mu(E)=1[/tex]), et soit $(X_n)_n$ une suite de v.a. positives de $L^1$ qui converge en probabilité vers $X \in L^1$. Prouver que:

$\lim_n{\int{X_n d\mu}=\int{X d\mu}}$  si et seulement si  $(X_n)_n$  converge  vers $X$ dans $L^1$

le sens réciproque est tres simple en utilisant (inegalite triangulaire inversée)
pour le sens directe j'ai essayé d'appliquer le lemme de fatou à la suite de fonction positive:

$$X_n+|X|-|X_n-X|$$
mais le probleme est que la convergence de $(X_n)_n$ vers X est en mesure (et pas $\mu-presque \ partout$)

alors comment la convergence en mesure va nous servir pour verifier le sens directe??

merci d'avance

Dernière modification par yoshi (27-04-2018 08:04:04)

dominique khalo

Invité

Re : CNS de convergence des v.a.r

Quelqu'un peut m'aider ou me donner une piste svp ?

aviateur

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Re : CNS de convergence des v.a.r

Bonjour, je ne suis pas un pro de la proba donc merci à celui qui s'y connait bien de me corriger si ce n'est pas exact.

Je pose $u=u^{+}-u^{-}$ de sorte que $|u|=u^{+}+u^{-}$ et alors $|u|= 2 u^{+}- u.$

On a donc $\int_\Omega |X_n-X| d \mu=2\int_\Omega (X_n-X)^+ d \mu-\int_\Omega (X_n-X) d \mu$

Comme par hypothèse   $\int_\Omega (X_n-X) d \mu$ tend vers zéro, il faut donc démontrer que 
$\int_\Omega (X_n-X)^+ d \mu$ tend vers zéro.

La suite $X_n$ cv en probabilité vers X donc pour tout $\epsilon>0$
$$\lim_{n->\infty}  \mu( |X_n-X|\geq \epsilon )=0.$$

Mais  $((X_n-X)^+ \geq \epsilon) \subset  (|X_n-X| \geq \epsilon)$  donc
$\mu((X_n-X)^+ \geq \epsilon)\leq \mu (|X_n-X| \geq \epsilon)$

On a donc $$\int_\Omega (X_n-X)^+ d \mu=\int_{(X_n-X)^+ \geq \epsilon} (X_n-X)^+ d \mu+\int_{(X_n-X)^+ < \epsilon} (X_n-X)^+ d \mu$$
$$\int_\Omega (X_n-X)^+ d \mu\leq \int_{(X_n-X)^+ \geq \epsilon} (X_n-X)^+ d \mu + \epsilon$$
Mais 
$$ \int_{(X_n-X)^+ \geq \epsilon} (X_n-X)^+ d \mu= \int_{(X_n-X)^+ \geq \epsilon} |X_n-X| d \mu \leq \int_{|X_n-X| \geq \epsilon} |X_n-X| d \mu \rightarrow 0 $$
(convergence en proba)
Ce qui montre que $$\int_\Omega (X_n-X)^+ d \mu \rightarrow 0$$
$$

Dernière modification par aviateur (06-05-2018 07:40:44)

dominique khalo

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Re : CNS de convergence des v.a.r

Bonjour, comment avez vous obtenu ce résultat? (de l'integrale à la mesure $\mu$)

On a donc $\int_\Omega (X_n-X)^+ d \mu=\mu((X_n-X)^+ \geq \epsilon)+\mu((X_n-X)^+ \leq \epsilon)\leq \mu((X_n-X)^+ \geq \epsilon)+\epsilon$

aviateur

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Re : CNS de convergence des v.a.r

C'est pas très correct j'ai donc modifié.

dominique khalo

Invité

Re : CNS de convergence des v.a.r

$$ \int_{(X_n-X)^+ \geq \epsilon} (X_n-X)^+ d \mu= \int_{(X_n-X)^+ \geq \epsilon} |X_n-X| d \mu \leq \int_{\Omega } |X_n-X| d \mu \rightarrow 0 $$
(convergence en proba)
$$

Ce n'est pas la definition de la convergence en mesure!! (c'est e resultat qu'on veut prouver)

aviateur

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Re : CNS de convergence des v.a.r

Bonjour Oui tu as raison mais cette une erreur de recopiage
La dernière intégrale je ne voulais pas mettre sur $\Omega$  mais sur $|X_n-X|\geq \epsilon$  et cette intégrale converge vers 0  (convergence en proba). J'ai donc encore corrigé.
J'espère que c'est quasiment correct maintenant !