Forum de mathématiques - Bibm@th.net

uni

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Sobolev fractionnaire

Bonjour
On considère les deux espaces
$$
H_1(\mathbb{R})= \{u \in S'(\mathbb{R}): (1+x^2)^{1/2} Fu \in L^{2}(\mathbb{R})\}
$$
où $Fu$ désigne la transformée de Fourier.
et
$$
H^1(\mathbb{R})= \{u \in L^2(\mathbb{R}): u' \in L^2(\mathbb{R})\}.
$$
La question est de montrer que $H_1(\mathbb{R})= H^1(\mathbb{R})$.
Je suis perdue sans idée. Merci par avance de me donner quelques pistes.

aviateur

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Re : Sobolev fractionnaire

Bonjour
Soit $u\in H^1(R),$  on sait que $F(u')= i \xi F(u) \in L^2(R).$

Donc $\int_{R} |F(u)|^2  d\xi <\infty$  et $\int_{R} |\xi|^2 |F(u)|^2 d\xi <\infty,$ on fait la somme des 2 intégrales, la conclusion est facile.

Inversement   $u\in H_1(R)$ on a donc  $\int_{R} (1+\xi^2)|F(u)|^2  dx <\infty$  ce qui implique déjà $\int_{R} |F(u)|^2  dx <\infty$

donc $u\in L^2(R).$  Mais on a   $\int_{R} |\xi^2||F(u)|^2  d\xi <\infty,$  c'est à dire que $F(u') \in L^2(R)$ donc $u'\in L^2(R)$

uni

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Re : Sobolev fractionnaire

Merci beaucoup aviateur pour cette solution très claire et élégante. Il y a seulement un point que je comprend pas. Pourquoi $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \xi^2 |F(u)|^2 d\xi < +\infty$ implique que $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |F(u)|^2 d\xi < +\infty$? Puisqu'on n'a aucune information sur $\xi^2$ de plus on intègre par rapport à $\xi$.

aviateur

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Re : Sobolev fractionnaire

Bonjour
Je ne vois pas où j'ai pas dit que la Cv de l'intégrale de $\xi^2|F(u)|^2 d\xi$ implique celle de |F(u)|^2 ? Il y a surement un petit malentendu quelque part.

uni

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Re : Sobolev fractionnaire

Bonjour,
c'est quand vous dites ceci:
on a donc $\displaystyle\int_{R} (1+\xi^2) |F(u)|^2 d\xi < +\infty$ ce qui implique déjà que $\displaystyle\int_{R}|F(u)|^2 d\xi < +\infty$ . Je ne comprend pas d'où vient cette implication.

aviateur

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Re : Sobolev fractionnaire

Tout simplement de l'inégalité 
$$0\leq |F(u)|^2\leq (1+\xi^2) |F(u))|^2. $$

uni

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Re : Sobolev fractionnaire

Merci beaucoup aviateur.
J'ai une autre question. Soit $f \in H^s(\mathbb{R})$ avec $s \in \mathbb{R}$. Je cherche à montrer que $Ff \in L^1(\mathbb{R}^n)$ à condition que $s > \dfrac{n}{2}$, où $Ff$ note la transformée de Fourier de $f$.
J'ai essayé ceci:
Soit $f \in H^s(\mathbb{R}^n)$. Cela veut dire que $(1+|\xi|^2)^{s/2} Ff \in L^2(\mathbb{R}^n)$.
On a
\begin{align*}
\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} |Ff(\xi)| d\xi &= \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2)^{-s/2} (1+|\xi|^2)^{s/2} |Ff(\xi)| d\xi\\
& \leq (\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2)^{-s/2} d\xi)^{1/2} (\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2)^{s/2} |Ff(\xi)| d\xi)^{1/2}
\end{align*}
et là ma question est:
1. Après des recherches, je trouve que $ (\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2)^{-s/2} d\xi)^{1/2}$ si et seulement si $s < \dfrac{n}{2}$. Pourquoi?
2. pourquoi $ (\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^2)^{s/2} |Ff(\xi)| d\xi)^{1/2} < +\infty$?
Merci par avance.

aviateur

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Re : Sobolev fractionnaire

Ton inégalité est fausse (voir Cauchy-Schwarz)  dans chaque intégrale il faut élever au carré. La deuxième intégrale sera bien sûr convergente.
La première est donc $\int_{R^n} (1+|\xi|^2)^{-s}   d\xi$  En passant en coordonnées polaires, sphériques,...., avec Fubini il y aura dans le calcul
de l'intégrale   un terme de la forme   $\int_0^\infty (1+ r^2) ^{-s}  r^{n-1}  dr$    qui se comporte quand r est grand  comme  $1/r^{2 s -n+1}$ L' intégrale sera convergente si $2s-n+1>1$ i.e $s>n/2. $

Dernière modification par aviateur (28-04-2018 01:36:55)

uni

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Re : Sobolev fractionnaire

S'il vous plaît, dans la preuve que $H^1(\mathbb{R}) \subset H_1(\mathbb{R})$, comment on montre que si $u \in L^2$ et $u' \in L^2$ alors $u \in S'(\mathbb{R})$?