Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Courage

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Formule du Binet

Bonjour,
Voici un problème dont j'ai un peu de mal pour résoudre :

On pose F₀=0 et F₁=1 et pour tout entier naturel n,

F_n+2=F_n+F_n+1

C'est la suite de Fibonnaci. avec une récurrence, on démontre que

[tex]F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^{n}-\overline{\varphi}^{n}\right)[/tex]

où [tex]\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] et [tex]\overline{\varphi}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]

Maintenant, ce qui est plus difficile, c'est ça :

Soit [tex] x \in ]-\dfrac{1}{\varphi},\dfrac{1}{\varphi}[ [/tex]
Montrer que [tex]\underset{x \rightarrow \infty}{lim}F_{n}x^{n}=0[/tex]

Voici ce que je trouve :

Si [tex]x[/tex] appartient à un tel intervalle, il est évident que[tex]|x| < \dfrac{1}{\varphi}[/tex], d'où
[tex]\left|F_{n}x^{n}\right|< \dfrac{F_{n}}{\varphi^{n}}[/tex]

Les quelques manipulations suivantes sont faciles à comprendre :

[tex]\left|F_{n}x^{n}\right|< \dfrac{1}{\sqrt{5}\varphi^{n}}(\varphi^{n}-\overline{\varphi}^{n})[/tex]
[tex]\left|F_{n}x^{n}\right|< \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(1-\dfrac{\overline{\varphi}^{n}}{\varphi^{n}}\right)[/tex]
Mais là, on ne peut pas conclure. À l'infini, [tex]\dfrac{\overline{\varphi}^{n}}{\varphi^{n}}[/tex] tend vers 0...
Merci d'avance pour ceux qui voudront bien m'aider.

Roro

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Re : Formule du Binet

Bonsoir,

Pourquoi ne pas simplement utiliser que les deux suites $(x^n\varphi^n)$ et $(x^n\overline{\varphi}^n)$ sont géométriques de raison $<1$ (en module) et donc converge vers $0$ ?

Roro.

Dernière modification par Roro (25-04-2018 20:56:23)

Courage

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Re : Formule du Binet

Bonjour,
Merci beaucoup pour l'astuce.
Du coup tout devient trivial.

Après, il fallait quand même y penser !