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#1 24-04-2018 12:37:13

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

Question sur une somme

Bonjour
j'ai du mal à comprendre l'égalité qui suit
$$
\sum_{j=n}^{+\infty} \dfrac{a^{j+1}}{(j+1)!}= \dfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} \sum_{j=0}^{+\infty} \dfrac{a^j}{j!}
$$
où $a>0$.
Toutes les tentatives que je fais ne mènent pas à cette égalité.
Merci d'avance pour toute aide.

Dernière modification par boule (24-04-2018 12:39:54)

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#2 24-04-2018 13:13:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Question sur une somme

Bonjour,
 
  Cette égalité est fausse!

F.

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#3 24-04-2018 17:47:52

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

Re : Question sur une somme

Merci Fred, il y a donc une erreur dans le cours que je lis.

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#4 26-04-2018 11:24:47

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

Re : Question sur une somme

Bonjour,
est-ce que l'inégalité suivante est correcte? Si oui comment on la montre:
$$
\sum_{j=n}^{+\infty} \dfrac{a^{j+1}}{(j+1)!} \leq \dfrac{a^{n+1}}{(n+1)!} \sum_{j=0}^{+\infty} \dfrac{a^j}{j!}
$$
si oui comment on la montre? S'il vous plaît.

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#5 26-04-2018 11:47:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Question sur une somme

Oui, l'inégalité est correcte.
Si tu écris
$$\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{a^k}{k!}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{a^{n+1+k}}{(n+1)!\times k!}$$
et
$$\sum_{j=n}^{+\infty}\frac{a^{j+1}}{(j+1)!}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{a^{n+1+k}}{(k+n+1)!}$$
(dans la deuxième égalité, j'ai fait un changement d'indices $j=k+n$), tu vois qu'il suffit de démontrer que
$(k+n+1)!\geq (n+1)!\times k!$. La preuve de ceci, je te l'ai déjà expliquée dans un autre message.

F.

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#6 28-04-2018 11:25:44

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

Re : Question sur une somme

Bonjour
je n'arrive pas à montrer que $(k+n+1)! \geq (n+1)!j!$
on a $(n+1)!j!=(n+1)! 1.2....(j-1)j$ mais j'ai des difficultés à écrire $(n+1+k)!$.
Comment? Svp

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