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#1 23-04-2018 19:12:15

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

convergence d'une suite

Bonjour
j'ai la suite suivante $u_n= \dfrac{(k \alpha)^{n+1}}{(n+1)!}$, où $k, \alpha >0$. La question est comment montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n=0$? Car moi je trouve une forme indéterminée.
Merci d'avance pour l'aide.

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#2 23-04-2018 21:13:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : convergence d'une suite

Bonjour,

  En posant $a=k\alpha$, tu veux prouver que la suite $u_n=a^n/n!$ tend vers 0. Effectivement, on a une forme indéterminée. Pour comprendre que cela tend vers 0, on peut remarquer que, au numérateur, on va toujours multiplier par le même nombre, tandis qu'au dénominateur, on va multiplier par un nombre de plus en plus grand.

Concrètement, soit $n_0$ tel que $n_0>a$. Alors tu as
$$0\leq u_n=\frac{a^{n_0}\times a^{n-n_0}}{n_0! \times (n_0+1)\times\cdots\times n}=u_{n_0}\times \frac{a}{n}\times \frac{a\times a\times\cdots \times a}{(n_0+1)\times (n_0+2)\times \cdots \times (n-1)}.$$
On a $a/n$ qui tend vers 0, et $0\leq \frac{a\times a\times\cdots \times a}{(n_0+1)\times (n_0+2)\times \cdots \times (n-1)}\leq 1$ (il y a le même nombre de facteurs en haut et en bas).
On a donc
$$0\leq u_n\leq u_{n_0}\times\frac an$$
et donc, par le théorème des gendarmes, $u_n$ tend vers 0.

F.

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#3 23-04-2018 21:23:02

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

Re : convergence d'une suite

Merci beaucoup pour l'idée.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on introduit $n_0 > a$ et pourquoi on a l'égalité $\dfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}= \dfrac{a^{n_0} \times a^{n-n_0}}{n_0! \times (n_0+1) \times ...\times n}$
Plus précisément, pourquoi $a^{n+1}= a^{n_0} \times a^{n-n_0}$ et $(n+1)!= n_0! \times (n_0+1) \times ...\times n$?
Je n'arrive pas à comprendre ça. Merci de m'aider.

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#4 23-04-2018 22:00:50

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : convergence d'une suite

Si tu regardes bien, je n'ai pas pris exactement la suite que tu considérais, mais la suite $a^n/n!$ (pour éviter d'avoir des $n+1$ partout).

F.

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#5 23-04-2018 22:07:34

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

Re : convergence d'une suite

D'accord, mais il reste un point non compris.
1- pourquoi on prend $n_0 > a$?
2- Comment on calcule le dénominateur $n!$ en fonction de $n_0$? Je ne comprend comment on obtient $n_0! \times (n_0+)\times ... n$

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#6 24-04-2018 08:17:33

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : convergence d'une suite

boule a écrit :

D'accord, mais il reste un point non compris.
1- pourquoi on prend $n_0 > a$?

Pour que, dans le quotient $\frac{a\times \cdots\times a}{(n_0+1)\times\cdtos\times (n-1)}$, chaque terme intervenant dans le produit au numérateur est inférieur ou égal à chaque terme intervenant dans le produit au dénominateur.


2- Comment on calcule le dénominateur $n!$ en fonction de $n_0$? Je ne comprend comment on obtient $n_0! \times (n_0+)\times ... n$

Je pense que si tu réfléchis bien (et que tu développes complètement les produits avec les factorielles) tu trouveras tout seul la réponse à cette question.

F.

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#7 24-04-2018 11:03:16

boule
Membre
Inscription : 02-04-2018
Messages : 13

Re : convergence d'une suite

Bonjour,
j'ai bien tout compris. Merci beaucoup.

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