Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 23-04-2018 19:12:15
- boule
- Membre
- Inscription : 02-04-2018
- Messages : 13
convergence d'une suite
Bonjour
j'ai la suite suivante $u_n= \dfrac{(k \alpha)^{n+1}}{(n+1)!}$, où $k, \alpha >0$. La question est comment montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n=0$? Car moi je trouve une forme indéterminée.
Merci d'avance pour l'aide.
Hors ligne
#2 23-04-2018 21:13:28
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : convergence d'une suite
Bonjour,
En posant $a=k\alpha$, tu veux prouver que la suite $u_n=a^n/n!$ tend vers 0. Effectivement, on a une forme indéterminée. Pour comprendre que cela tend vers 0, on peut remarquer que, au numérateur, on va toujours multiplier par le même nombre, tandis qu'au dénominateur, on va multiplier par un nombre de plus en plus grand.
Concrètement, soit $n_0$ tel que $n_0>a$. Alors tu as
$$0\leq u_n=\frac{a^{n_0}\times a^{n-n_0}}{n_0! \times (n_0+1)\times\cdots\times n}=u_{n_0}\times \frac{a}{n}\times \frac{a\times a\times\cdots \times a}{(n_0+1)\times (n_0+2)\times \cdots \times (n-1)}.$$
On a $a/n$ qui tend vers 0, et $0\leq \frac{a\times a\times\cdots \times a}{(n_0+1)\times (n_0+2)\times \cdots \times (n-1)}\leq 1$ (il y a le même nombre de facteurs en haut et en bas).
On a donc
$$0\leq u_n\leq u_{n_0}\times\frac an$$
et donc, par le théorème des gendarmes, $u_n$ tend vers 0.
F.
En ligne
#3 23-04-2018 21:23:02
- boule
- Membre
- Inscription : 02-04-2018
- Messages : 13
Re : convergence d'une suite
Merci beaucoup pour l'idée.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on introduit $n_0 > a$ et pourquoi on a l'égalité $\dfrac{a^{n+1}}{(n+1)!}= \dfrac{a^{n_0} \times a^{n-n_0}}{n_0! \times (n_0+1) \times ...\times n}$
Plus précisément, pourquoi $a^{n+1}= a^{n_0} \times a^{n-n_0}$ et $(n+1)!= n_0! \times (n_0+1) \times ...\times n$?
Je n'arrive pas à comprendre ça. Merci de m'aider.
Hors ligne
#4 23-04-2018 22:00:50
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : convergence d'une suite
Si tu regardes bien, je n'ai pas pris exactement la suite que tu considérais, mais la suite $a^n/n!$ (pour éviter d'avoir des $n+1$ partout).
F.
En ligne
#5 23-04-2018 22:07:34
- boule
- Membre
- Inscription : 02-04-2018
- Messages : 13
Re : convergence d'une suite
D'accord, mais il reste un point non compris.
1- pourquoi on prend $n_0 > a$?
2- Comment on calcule le dénominateur $n!$ en fonction de $n_0$? Je ne comprend comment on obtient $n_0! \times (n_0+)\times ... n$
Hors ligne
#6 24-04-2018 08:17:33
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : convergence d'une suite
D'accord, mais il reste un point non compris.
1- pourquoi on prend $n_0 > a$?
Pour que, dans le quotient $\frac{a\times \cdots\times a}{(n_0+1)\times\cdtos\times (n-1)}$, chaque terme intervenant dans le produit au numérateur est inférieur ou égal à chaque terme intervenant dans le produit au dénominateur.
2- Comment on calcule le dénominateur $n!$ en fonction de $n_0$? Je ne comprend comment on obtient $n_0! \times (n_0+)\times ... n$
Je pense que si tu réfléchis bien (et que tu développes complètement les produits avec les factorielles) tu trouveras tout seul la réponse à cette question.
F.
En ligne
#7 24-04-2018 11:03:16
- boule
- Membre
- Inscription : 02-04-2018
- Messages : 13
Re : convergence d'une suite
Bonjour,
j'ai bien tout compris. Merci beaucoup.
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée