Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 22-04-2018 15:38:08

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Bonsoir à tous
Je suis un peu nul en math je veut votre bénédiction (aide) , en effet mon problème est le suivant : Je vais résoudre cette équation ; x2+3x+7 congru 0 mod(115). Du coup 115 est tellement grand que je ne peut appliquer la méthode de reste de la division euclidienne  sinon j'aurai à faire un tableau de 116 colonne ce qui ennuyeux.
Est-ce qu'il y'a pas une méthode plus facile pour résoudre ce genre d'équation?
Merci !!!

Hors ligne

#2 22-04-2018 17:29:05

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 544

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Bonjour,

Tu auras sans doute remarquer que $115=5\times 23$ (décomposition en nombre premier).
Il faut donc dans un premier temps résoudre $x^2+3x+7\equiv 0 [5]$ puis $x^2+3x+7\equiv 0 [23]$, tu utiliseras le théorème des restes chinois pour combiner ces solutions...

Pour résoudre, par exemple $x^2+3x+7\equiv 0 [5]$, tu peux écrire de façon équivalente
$$x^2-2x+7\equiv 0 [5]$$
$$(x^2-1)^2+6\equiv 0 [5]$$
$$(x^2-1)^2\equiv -1 [5]$$
Je te laisse nous dire ce que tu en penses et si tu arrives à terminer !

Roro.

P.S. ça fait bien longtemps que j'ai fait ce genre de chose alors il y en peut être (sans doute) d'autres méthodes...

Hors ligne

#3 22-04-2018 19:11:44

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Roro a écrit :

Bonjour,

Tu auras sans doute remarquer que $115=5\times 23$ (décomposition en nombre premier).
Il faut donc dans un premier temps résoudre $x^2+3x+7\equiv 0 [5]$ puis $x^2+3x+7\equiv 0 [23]$, tu utiliseras le théorème des restes chinois pour combiner ces solutions...

Pour résoudre, par exemple $x^2+3x+7\equiv 0 [5]$, tu peux écrire de façon équivalente
$$x^2-2x+7\equiv 0 [5]$$
$$(x^2-1)^2+6\equiv 0 [5]$$
$$(x^2-1)^2\equiv -1 [5]$$
Je te laisse nous dire ce que tu en penses et si tu arrives à terminer !

Roro.

P.S. ça fait bien longtemps que j'ai fait ce genre de chose alors il y en peut être (sans doute) d'autres méthodes...

Ok je vais faire et te donner le retour après, mais il faut un peu expliquer comme tu fait de manière équivalente pour avoir -2x au lieu de 3x.

Dernière modification par oudjiMath1 (22-04-2018 19:12:31)

Hors ligne

#4 22-04-2018 20:22:36

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 544

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

car $-2\equiv 3 [5]$ ?

Hors ligne

#5 22-04-2018 21:06:18

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Roro a écrit :

car $-2\equiv 3 [5]$ ?

Oui effectivement ok Merci

Voici la résolution de l'équation  [tex]x^2+3x+7≡0[5][/tex]
                                                    [tex]x^2-2x+6≡0[5][/tex]
                                                   [tex](x-1)^2≡-1[5][/tex]
Je pose [tex]y=x-1[/tex]
Donc [tex]y^2≡-1[5][/tex]
         [tex]y^2≡4[5][/tex]
         [tex]y^2≡+ ou -2[5][/tex]

et en remontant on aura:
[tex]x-1≡+ ou -2[5][/tex]
donc
[tex]x≡3[5][/tex] et [tex]x≡-1≡4[5][/tex]

D'où [tex]x≡2[5][/tex]
puisque [tex]3*4=12≡2[5][/tex]

Je sais pas si ce correct mais voila pour le premier équation, Please rectifie moi si ce n'est pas bon.

Dernière modification par oudjiMath1 (22-04-2018 21:11:01)

Hors ligne

#6 22-04-2018 21:46:50

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 544

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Re,

Ça à l'air OK sauf que je ne comprend pas la fin de ton message :

oudjiMath1 a écrit :

[...]
D'où [tex]x≡2[5][/tex]
puisque [tex]3*4=12≡2[5][/tex]

De toutes façons, je viens de re-réfléchir au problème et l'histoire d'utiliser les restes Chinois ne permettra sans doute pas de conclure pour résoudre directement ce type d'équation.

En pratique, il ne faut pas qu'il y ait à la fois des termes au carré ($x^2$) et des termes "linéaires" ($x$).
Voici donc ce que je te propose, mais qui ré-utilise les mêmes arguments :

Etape 1 : se ramener à une équation de la forme $y^2=a$ : par équivalence (vérifier qu'il n'y a pas d'erreur de calcul)
$$x^2+3x+7 \equiv 0 [115]$$
$$x^2+118x+7 \equiv 0 [115]$$
$$(x+59)^2 \equiv 3474 [115]$$
$$(x+59)^2 \equiv 24 [115]$$

Etape 2 : résoudre $a^2 \equiv 24 [5]$. Tu devrais trouver $a \equiv 2 [5]$ ou $a \equiv 3 [5]$.

Etape 3 : résoudre $b^2 \equiv 24 [23]$. Tu devrais trouver $b \equiv 1 [23]$ ou $b \equiv 22 [23]$.

Etape 4 : On sait qu'il existe $u$ et $v$ tels que $23u+5v \equiv 1 [115]$ (tu peux explicitement calculer $u$ et $v$).
Pose $y = 23au+5bv$ et vérifie que $y^2\equiv 24 [115]$.

Etape 5 : conclusion...

Roro.

Hors ligne

#7 23-04-2018 00:10:00

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Oh vraiment c'est gentil j'ai tout vérifié le calcul était propre, voici la suite..
à l'étape 4 je trouve [tex]u = 2[/tex] et  [tex]v=-9[/tex]
en suite pour [tex]a≡2[5][/tex] et [tex]b≡1[23][/tex]

je trouve  [tex]y=23*2*2 - 5*9=47[/tex]
donc  [tex]y=47^2=2209[/tex] or  [tex]2209=115*19+24[/tex]
d'où  [tex]y^2≡24[115][/tex]

et pour  [tex]a≡3[5][/tex] et [tex]b≡22[23][/tex]
on a :  [tex]y=23*3*2-5*9*22=852[/tex]
           [tex]y^2=725904[/tex] or [tex]725904=6312*115+24[/tex]
d'où  [tex]y^2≡24[115][/tex]
       

Etape 5: conclusion
En égalisant [tex]23au+5bv=23*2-5*9[/tex]
j'obtient [tex]bv=-9-23k[/tex] et [tex]au=5k+2[/tex]
La solution est [tex]S={(-9-23k, 5k+2)} [/tex] avec k dans Z)}???
Merci de vérifier mon résultat encore

Dernière modification par oudjiMath1 (23-04-2018 00:18:39)

Hors ligne

#8 23-04-2018 07:09:16

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 544

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord avec ta conclusion !
Pourquoi ne regardes-tu que 2 cas parmi 4 ?
Il y a 2 valeurs possibles pour 23a (qui sont 46 ou 69), ainsi que 2 valeurs de 5b (5 ou 110), modulo 115...
donc 4 solutions (modulo 115).

Roro.

Hors ligne

#9 23-04-2018 14:24:12

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Bonjour #Roro

Roro a écrit :

[...]
Il y a 2 valeurs possibles pour 23a (qui sont 46 ou 69), ainsi que 2 valeurs de 5b (5 ou 110), modulo 115...
donc 4 solutions (modulo 115).

Roro.

Je ne vois pas bien comment tu trouve ces valeurs mais je vais encore continuer à réfléchir et te donner mon Feedback après.

Dernière modification par oudjiMath1 (23-04-2018 14:25:21)

Hors ligne

#10 23-04-2018 16:08:04

cedric
Invité

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

[tex] bonjour Roro et oudjira voici la solution que je propose pour cette équation
partant de cette équation: $$(x+59)\up{2} \equiv 24 [115] $$
voici ce que je propose or $ 115 = 5*23 $ ce qui implique a dire que
$$(x+59)\up{2} \equiv 24 [5] $$ et $$(x+59)\up{2} \equiv 24 [23] $$ or d'après la propriété des congruences
$24 \equiv 4[5]$ et $24 \equiv 1[23]$ implique à dire que:
$$(x+59)\up{2} \equiv 4 [5] $$ et $$(x+59)\up{2} \equiv 1 [23] $$ ce qui nous donne après calcule
le résultat suivant: $$x \equiv -59\underset{-}{+}2[5]$$ et
$$x \equiv -59\underset{-}{+}1[23]$$ et par la suite nous pouvons maintenant utilisé le théorème des restes
chinois pour recoudre ce système d'équation puisque les nombres $5 et 23$ sont premiers entre eux.
svp si j'ai fais une erreur quelque part rectifié moi. merci bien.




[/tex]

#11 23-04-2018 16:34:47

cedric
Invité

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

bonjour Roro et oudjira

voici la solution que je propose pour cette équation
partant de cette équation: [tex](x+59)^2 \equiv 24 [115][/tex]
voici ce que je propose or [tex]115 = 5*23[/tex]  ce qui implique a dire que
[tex](x+59)\up{2} \equiv 24 [5][/tex] et ([tex]x+59)^2 \equiv 24 [23[/tex]] or d'après la propriété des congruences
[tex]24 \equiv 4[5][/tex] et [tex]24 \equiv 1[23][/tex] implique à dire que:
[tex](x+59)\up{2} \equiv 4 [5][/tex]  et [tex](x+59)\up{2} \equiv 1 [23][/tex] ce qui nous donne après calcule
le résultat suivant: [tex]x \equiv -59\pm 2[5][/tex] et
[tex]x \equiv -59\pm 1[23][/tex] et par la suite nous pouvons maintenant utilisé le théorème des restes
chinois pour recoudre ce système d'équation puisque les nombres 5 et 23 sont premiers entre eux.
svp si j'ai fais une erreur quelque part rectifié moi. merci bien.

---------------------------------------------------------
[EDIT]Que fait \up en Latex ?
Yoshi - Modérateur

Dernière modification par yoshi (23-04-2018 18:17:42)

#12 23-04-2018 18:22:40

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 544

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Bonsoir,

Je crois que c'est exactement ce que je propose au post 6...

Roro.

cedric a écrit :

bonjour Roro et oudjira

voici la solution que je propose pour cette équation
partant de cette équation: [tex](x+59)^2 \equiv 24 [115][/tex]
voici ce que je propose or [tex]115 = 5*23[/tex]  ce qui implique a dire que
[tex](x+59)\up{2} \equiv 24 [5][/tex] et ([tex]x+59)^2 \equiv 24 [23[/tex]] or d'après la propriété des congruences
[tex]24 \equiv 4[5][/tex] et [tex]24 \equiv 1[23][/tex] implique à dire que:
[tex](x+59)\up{2} \equiv 4 [5][/tex]  et [tex](x+59)\up{2} \equiv 1 [23][/tex] ce qui nous donne après calcule
le résultat suivant: [tex]x \equiv -59\pm 2[5][/tex] et
[tex]x \equiv -59\pm 1[23][/tex] et par la suite nous pouvons maintenant utilisé le théorème des restes
chinois pour recoudre ce système d'équation puisque les nombres 5 et 23 sont premiers entre eux.
svp si j'ai fais une erreur quelque part rectifié moi. merci bien.

---------------------------------------------------------
[EDIT]Que fait \up en Latex ?
Yoshi - Modérateur

Hors ligne

#13 23-04-2018 19:12:11

cedric
Invité

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

bonjour Roro et oudjira voici la solution que je propose pour cette équation
partant de cette équation: [tex](x+59)^2 \equiv 24 [115] [/tex]
voici ce que je propose or [tex] 115 = 5*23 [/tex] ce qui implique a dire que
[tex](x+59)^2 \equiv 24 [5]  [/tex] et [tex](x+59)^2 \equiv 24 [23]  [/tex]or d'après la propriété des congruences
[tex]24 \equiv 4[5] et 24 \equiv 1[23] [/tex] implique à dire que:
[tex](x+59)^2 \equiv 4 [5]  [/tex]et [tex](x+59)^2\equiv 1 [23] [/tex] ce qui nous donne après calcule
le résultat suivant:

[tex]x \equiv -59\underset{-}{+}2[5] [/tex] et
[tex] x \equiv -59\underset{-}{+}1[23][/tex]

et par la suite nous pouvons maintenant utilisé le théorème des restes
chinois pour recoudre ce système d'équation puisque les nombres 5 et 23 sont premiers entre eux.
svp si j'ai fais une erreur quelque part rectifié moi. merci bien.

#14 23-04-2018 19:15:18

cedric
Invité

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Roro a écrit :

Bonsoir,

Je crois que c'est exactement ce que je propose au post 6...

Roro.

cedric a écrit :

bonjour Roro et oudjira

voici la solution que je propose pour cette équation
partant de cette équation: [tex](x+59)^2 \equiv 24 [115][/tex]
voici ce que je propose or [tex]115 = 5*23[/tex]  ce qui implique a dire que
[tex](x+59)\up{2} \equiv 24 [5][/tex] et ([tex]x+59)^2 \equiv 24 [23[/tex]] or d'après la propriété des congruences
[tex]24 \equiv 4[5][/tex] et [tex]24 \equiv 1[23][/tex] implique à dire que:
[tex](x+59)\up{2} \equiv 4 [5][/tex]  et [tex](x+59)\up{2} \equiv 1 [23][/tex] ce qui nous donne après calcule
le résultat suivant: [tex]x \equiv -59\pm 2[5][/tex] et
[tex]x \equiv -59\pm 1[23][/tex] et par la suite nous pouvons maintenant utilisé le théorème des restes
chinois pour recoudre ce système d'équation puisque les nombres 5 et 23 sont premiers entre eux.
svp si j'ai fais une erreur quelque part rectifié moi. merci bien.

---------------------------------------------------------
[EDIT]Que fait \up en Latex ?





bonsoir Roro j'avais juste faire une erreur de compilation voila ce que je voulais proposé plus bat stp s'il ya quelque chose a modifier tu me dis. merci bien
Yoshi - Modérateur

#15 23-04-2018 19:37:08

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

cedric a écrit :

bonjour Roro et oudjira voici la solution que je propose pour cette équation
partant de cette équation: [tex](x+59)^2 \equiv 24 [115] [/tex]
voici ce que je propose or [tex] 115 = 5*23 [/tex] ce qui implique a dire que
[tex](x+59)^2 \equiv 24 [5]  [/tex] et [tex](x+59)^2 \equiv 24 [23]  [/tex]or d'après la propriété des congruences
[tex]24 \equiv 4[5] et 24 \equiv 1[23] [/tex] implique à dire que:
[tex](x+59)^2 \equiv 4 [5]  [/tex]et [tex](x+59)^2\equiv 1 [23] [/tex] ce qui nous donne après calcule
le résultat suivant:

[tex]x \equiv -59\underset{-}{+}2[5] [/tex] et
[tex] x \equiv -59\underset{-}{+}1[23][/tex]

et par la suite nous pouvons maintenant utilisé le théorème des restes
chinois pour recoudre ce système d'équation puisque les nombres 5 et 23 sont premiers entre eux.
svp si j'ai fais une erreur quelque part rectifié moi. merci bien.


ça veut dire que après avoir fait la difference tu aura ceci.

[tex]x ≡ -57[5] [/tex]

[tex]x ≡ -617[5] [/tex]

[tex]x ≡ -58[23] [/tex]

[tex]x ≡ -60[23] [/tex]  ???

Hors ligne

#16 23-04-2018 19:42:46

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Bonsoir
#Roro, j'avoue jusqu'à là je n'est pas trouver comment tu a fait pour avoir ces quatre resultat, et je pense que comme l'equation est de second degré est-ce que le résutat ne sera pas tout simplement un couple ou lieu de quatre?

Dernière modification par oudjiMath1 (23-04-2018 19:43:23)

Hors ligne

#17 23-04-2018 20:30:33

cedric
Membre
Inscription : 23-04-2018
Messages : 2

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

bon pour ma part tu dois utilisé le théorème des restes chinois pour resoudre sa. donc il faudra généralisé une fois tes solutions
donc tu dois posé un certain [tex]a_1 = -59 \underset{-}{+}2[/tex]
et [tex]a_2 = -59 \underset{-}{+}1[/tex]
et le système à resoudre sera de la forme:

[tex]x \equiv a_1[5][/tex] et
[tex]x \equiv a_2[23][/tex]

par la suite du applique toutes les étapes pour la resolution de cette équation en utilisant le théorème des restes chinois
je pense que c'est tout.
et la solution générale sera donné sous la forme

[tex]x \equiv \sum_{i=1}^{2} y_i*a_i*M_i [m][/tex]


avec [tex]m = \prod_{i=1}^{2} m_i[/tex] et
[tex]M_i = \frac{m}{m_i}[/tex]

[tex]y_i*M_i \equiv 1[m_i][/tex] ou les valeurs de [tex]y_i[/tex] sont a déterminé

je pense que c'est tout a moins que Roro peut nous aidé a améliorer cette solution

Hors ligne

#18 23-04-2018 22:31:14

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 544

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Bonsoir,

Bon, je donne une solution car la discussion commence à être sérieusement polluée !

Nous nous sommes ramener à résoudre $y^2\equiv 24 \, [115]$ (voir post 6).

Les solutions de $a^2\equiv 24 \, [5]$ sont $a\equiv 2 \, [5]$ et $a\equiv 3 \, [5]$.

Celles de $b^2\equiv 24 \, [23]$ sont $b\equiv 1 \, [23]$ et $b\equiv -1 \, [23]$.

On remarque que si on a $23u+5v\equiv 1 \, [115]$ (ce qui est le cas avec $u=2$ et $v=-9$) alors $y=23au+5bv$ sera une solution de notre problème ($y^2\equiv 24 \, [115]$) dès lors que $a$ et $b$ seront choisi comme ci-dessus (le vérifier !).

On a donc 4 cas possibles :

$a=2$ et $b=1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 47 \, [115]$
$a=2$ et $b=-1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 22 \, [115]$
$a=3$ et $b=1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 93 \, [115]$
$a=3$ et $b=-1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 68 \, [115]$

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation $y^2\equiv 24 \, [115]$ est l'ensemble
$$\mathcal S = \{47, 22, 93, 68\} \, [115].$$

Remarque : le nombre de solution de P(X)=0 n'est pas nécessairement inférieur ou égal au degré du polynôme lorsque l'on travaille sur un anneau non intègre comme c'est le cas ici ($\mathbb Z/115\mathbb Z$). Regarde par exemple, à la main, le nombre de solution de l'équation $X^2=X$ modulo $6$...

Roro.

Hors ligne

#19 24-04-2018 10:36:36

cedric
Membre
Inscription : 23-04-2018
Messages : 2

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

bonjour Roro
moi j'ai un problème avec la valeur de [tex]a^2 \equiv 24[5][/tex] puisque si je veux revenir
a ce que vous avez écrire que [tex]a \equiv 3[5][/tex]

cela implique que vous êtes entrain de dire que [tex]a^2 \equiv 9[5][/tex]
ce qui implique a dire que

[tex]a \equiv 3[5][/tex]
             ou
[tex]a \equiv -3[5][/tex]

rappel:
moi je pense qu'en respectant la condition sur les congruences lorsqu'on
fais a(a dividende) divisé par b(diviseur) on trouve un reste r(r reste) et q(q quotient)
ce qui se traduit par la relation de congruence [tex]a \equiv r \pmod b[/tex] et a ce niveau
la condition sur r voudrait que [tex]0 \leq r < b[/tex]

je reviens maintenant a notre exercice ou vous avez dit que [tex]a \equiv 3[5][/tex]
sa voudrait forcement dire que [tex]a^2 \equiv 9[5][/tex] or ici notre reste est : 9 ce qui ne
respecte plus la condition que j'ai énoncé en haut sur r.

donc pour moi je pense qu'on doit encore chercher a reduire  [tex]r = 9[/tex]
ce qui implique a dire que :[tex]a^2 \equiv 9[5][/tex]

en écrivant

[tex]9 \equiv 4[5][/tex] a ce niveau on est maintenant sur que [tex]a^2 \leq 4 < 5[/tex]

d'ou on peut maintenat écrire que comme

[tex]a^2 \leq 4 < 5[/tex]


donc on aura

[tex]a^2 \equiv 4[5][/tex]

cela implique forcement que:
[tex]a \equiv 2[5][/tex]
              ou
[tex]a \equiv -2[5][/tex]

Hors ligne

#20 24-04-2018 20:07:46

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 544

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Bonsoir,

Je répond une dernière fois à cedric mais il n'y a plus vraiment de lien avec la question initiale...

J'ai l'impression que tu mélanges un peu tout :

L'équation $a^2\equiv 24 \, [5]$ a pour solutions $a \equiv 2 \, [5]$ et $a \equiv 3 \, [5]$.

Evidemment tu peux aussi écrire les solutions différemment puisque, par exemple $3 \equiv -2 \, [5]$. J'ai fait le choix dans ce que j'ai présenté avant de prendre un représentant modulo $n$ toujours entre $0$ et $n-1$.

Roro.

Dernière modification par Roro (24-04-2018 20:08:39)

Hors ligne

#21 24-04-2018 21:59:19

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Merci Roro, c'est gentil d'avoir sacrifié ton temps pour me répondre, une fois de Merci !!

Roro a écrit :

Bonsoir,

Bon, je donne une solution car la discussion commence à être sérieusement polluée !

Nous nous sommes ramener à résoudre $y^2\equiv 24 \, [115]$ (voir post 6).

Les solutions de $a^2\equiv 24 \, [5]$ sont $a\equiv 2 \, [5]$ et $a\equiv 3 \, [5]$.

Celles de $b^2\equiv 24 \, [23]$ sont $b\equiv 1 \, [23]$ et $b\equiv -1 \, [23]$.

On remarque que si on a $23u+5v\equiv 1 \, [115]$ (ce qui est le cas avec $u=2$ et $v=-9$) alors $y=23au+5bv$ sera une solution de notre problème ($y^2\equiv 24 \, [115]$) dès lors que $a$ et $b$ seront choisi comme ci-dessus (le vérifier !).

On a donc 4 cas possibles :

$a=2$ et $b=1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 47 \, [115]$
$a=2$ et $b=-1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 22 \, [115]$
$a=3$ et $b=1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 93 \, [115]$
$a=3$ et $b=-1$ pour lesquels on obtient $y \equiv 68 \, [115]$

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation $y^2\equiv 24 \, [115]$ est l'ensemble
$$\mathcal S = \{47, 22, 93, 68\} \, [115].$$

Remarque : le nombre de solution de P(X)=0 n'est pas nécessairement inférieur ou égal au degré du polynôme lorsque l'on travaille sur un anneau non intègre comme c'est le cas ici ($\mathbb Z/115\mathbb Z$). Regarde par exemple, à la main, le nombre de solution de l'équation $X^2=X$ modulo $6$...

Roro.

Hors ligne

#22 24-04-2018 22:02:06

oudjiMath1
Membre
Inscription : 22-04-2018
Messages : 9

Re : resolution de l'equation du second degré modulo p plus grand

Merci à toi aussi Cedric pour tes courages et sacrifice de mon repondre

cedric a écrit :

bonjour Roro
moi j'ai un problème avec la valeur de [tex]a^2 \equiv 24[5][/tex] puisque si je veux revenir
a ce que vous avez écrire que [tex]a \equiv 3[5][/tex]

cela implique que vous êtes entrain de dire que [tex]a^2 \equiv 9[5][/tex]
ce qui implique a dire que

[tex]a \equiv 3[5][/tex]
             ou
[tex]a \equiv -3[5][/tex]

rappel:
moi je pense qu'en respectant la condition sur les congruences lorsqu'on
fais a(a dividende) divisé par b(diviseur) on trouve un reste r(r reste) et q(q quotient)
ce qui se traduit par la relation de congruence [tex]a \equiv r \pmod b[/tex] et a ce niveau
la condition sur r voudrait que [tex]0 \leq r < b[/tex]

je reviens maintenant a notre exercice ou vous avez dit que [tex]a \equiv 3[5][/tex]
sa voudrait forcement dire que [tex]a^2 \equiv 9[5][/tex] or ici notre reste est : 9 ce qui ne
respecte plus la condition que j'ai énoncé en haut sur r.

donc pour moi je pense qu'on doit encore chercher a reduire  [tex]r = 9[/tex]
ce qui implique a dire que :[tex]a^2 \equiv 9[5][/tex]

en écrivant

[tex]9 \equiv 4[5][/tex] a ce niveau on est maintenant sur que [tex]a^2 \leq 4 < 5[/tex]

d'ou on peut maintenat écrire que comme

[tex]a^2 \leq 4 < 5[/tex]


donc on aura

[tex]a^2 \equiv 4[5][/tex]

cela implique forcement que:
[tex]a \equiv 2[5][/tex]
              ou
[tex]a \equiv -2[5][/tex]

Hors ligne

Pied de page des forums