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#1 21-04-2018 21:41:26

rfgauss
Membre
Inscription : 21-04-2018
Messages : 2

Exercice de geometrie

Bonsoir
Je bloque sur cet exercice, je sollicite donc votre aide pour essayer de le résoudre

Soit [tex]ABCD[/tex] un carré et [tex]E[/tex] un point du segment [tex][CD][/tex].
La bissectrice de l'angle  [tex]\widehat {EAB}[/tex] coupe [tex][BC][/tex] en [tex]M[/tex] tandis que la bissectrice de l'angle  [tex]\widehat {EAD}[/tex] coupe [tex][CD][/tex] en [tex]N[/tex].
Soit [tex]F[/tex] un point de la demi droite [tex][AE)[/tex] tel que : [tex]AF=AB[/tex].

-Montrer que la droite [tex](MN)[/tex] passe par le point [tex]F[/tex]


Merci beaucoup

Dernière modification par rfgauss (21-04-2018 21:51:07)

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#2 21-04-2018 22:17:08

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : Exercice de geometrie

Salut,

Une piste... il y a peut-être plus rapide :

On se place dans le repère $(A,B,D)$.
On peut alors déterminer les coordonnées de tous les points de la figure.
* $A$, $B$, $C$ et $D$ facile ;
* $E$, on a besoin de poser une inconnue ;
* $F$, on calcule l'équation de $(AE)$, puis on utilise le fait que $AF=1$ ;
* $M$ et $N$, on a besoin de l'équation des bissectrices qui admettent pour vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AD}$.

Je n'ai pas fini les calculs, mais ça a l'air de se simplifier pas trop mal...

PS : Pour $M$ et $N$ c'est plus rapide de dire que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$ sont colinéaires.

Dernière modification par tibo (21-04-2018 23:28:32)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 22-04-2018 10:14:14

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : Exercice de geometrie

Bonjour,


Je pense avoir trouvé bien plus simple (TECHNIQUEMENT, niveau 4e)
180422105425.jpg
Sans calculs !
Techniquement certes, mais en 4e, il faut des questions intermédiaires : il m'a fallu un certain temps pour trouver la bonne approche...

Depuis M, j'abaisse la perpendiculaire en K1 sur [AE)
Depuis M, j'abaisse la perpendiculaire en K2 sur [AE)
(AM) et [AN) étant des bissectrices :
MK1 = MB  et  NK2 = ND
Le triangle AK1M étant rectangle en K1, d'après la propriété de Pythagore, il vient :
[tex]AK_1^2= AM^2- MK1^2= AM^2-MB^2= AB^2[/tex]

Le triangle AK2N étant rectangle en K2, on montrerait de même que [tex]AK_2^2=AD^2[/tex]
Or, ABCD étant un carré, on a : AB = AD et  donc [tex]AB^2=AD^2[/tex]

D'ou [tex]AK_1^2=AK_2^2[/tex], d'où [tex]AK_1=AK_2[/tex]
K1 et K2 sont un seul et même point K tel que AK = AD = AB : M, N, K sont alignés
Or, d'après l'énoncé AF = AB donc K et F sont un seul et même point.

On a montré que [tex]K \in [MN][/tex], donc [tex]F \in [MN][/tex]


@+

Dernière modification par yoshi (23-04-2018 06:50:31)


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#4 22-04-2018 20:49:28

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : Exercice de geometrie

Re,

En effet, beaucoup plus simple...
J'ai fini les calculs cet après-midi... une horreur. Ça ne se simplifiait pas aussi bien que je le pensais.
On arrive bien au résultat, mais avec une page entière de calcul avec des racines carrées... bref...

Et la démonstration géométrique est tellement plus belle que mon immonde page de calcul ^^


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#5 23-04-2018 20:02:38

rfgauss
Membre
Inscription : 21-04-2018
Messages : 2

Re : Exercice de geometrie

yoshi a écrit :

Bonjour,


Je pense avoir trouvé bien plus simple (TECHNIQUEMENT, niveau 4e)
https://nsa39.casimages.com/img/2018/04 … 105425.jpg
Sans calculs !
Techniquement certes, mais en 4e, il faut des questions intermédiaires : il m'a fallu un certain temps pour trouver la bonne approche...

Depuis M, j'abaisse la perpendiculaire en K1 sur [AE)
Depuis M, j'abaisse la perpendiculaire en K2 sur [AE)
(AM) et [AN) étant des bissectrices :
MK1 = MB  et  NK2 = ND
Le triangle AK1M étant rectangle en K1, d'après la propriété de Pythagore, il vient :
[tex]AK_1^2= AM^2- MK1^2= AM^2-MB^2= AB^2[/tex]

Le triangle AK2N étant rectangle en K2, on montrerait de même que [tex]AK_2^2=AD^2[/tex]
Or, ABCD étant un carré, on a : AB = AD et  donc [tex]AB^2=AD^2[/tex]

D'ou [tex]AK_1^2=AK_2^2[/tex], d'où [tex]AK_1=AK_2[/tex]
K1 et K2 sont un seul et même point K tel que AK = AD = AB : M, N, K sont alignés
Or, d'après l'énoncé AF = AB donc K et F sont un seul et même point.

On a montré que [tex]K \in [MN][/tex], donc [tex]F \in [MN][/tex]


@+

Merci beaucoup pour votre aide et pour cette methode très élegente.

Le seul passage que j'ai pas compris c'est celui où on déduit que M,N,K sont alignés, si vous pouviez me l'éclaircir. Merci bcp

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#6 23-04-2018 20:44:00

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : Exercice de geometrie

B'soir,

Vite fait ce soir alors...
Si  toujours un souci, je reverrai demain matin.
D'abord
1. Tout point de la bissectrice d'un angle est équisistant des cotés de l'angle.
2. Voilà pourquoi j'ai tracé les segments pependiculaires [MK1] et [NK2]
3. Ainsi je peux dire que les longueurs MK1  et MB d'une part et NK2 et ND d'autre part sont égales.
4. A ce stade, rien ne dit que K1 et K2 sont un seul et même point K... Il faut le prouver !
5. Les perpendiculaires avaient aussi un autre intérêt : utilisation du théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AK1M et AK2N...
6. Du fait de la propriété des bissectrices, j'ai pu remplacer MK1² par MB² et NK2² par ND²... ce qui m'a permis d'arriver à [tex]AK_1^2 = AB^2[/tex] et [tex]AK_2^2= AD^2[/tex]
7. Comme ABCD est un carré AB = AD et donc AB² = AD², ce qui conduit à la conclusion que [tex]AK_1^2 =AK_2^2[/tex] et donc que [tex]AK_1 =AK_2=AB[/tex].
8. Si je trace le cercle de centre A et de rayon AB, ce cercle passe par les points K1 et K2 de la demi-droite [AE) : impossible le cercle ne peut pas couper la demi-droite [AE) en deux points différents c'est le même point k.
9. On a donc [tex](KM)\perp (AE)[/tex] et [tex](KN) \perp(AE)[/tex] ce qui veut dire que (KM) // (KN). Or ces deux droites ont un point commun (contraire à l'axiome d'Euclide) donc c'est la même droite et donc M,K,N sont alignés.
Et comme F a été construit par AF =AB, F est aussi l'intersection du cercle avec [AE): F, c'est le point K... Donc M,F,N sont alignés

Pas si évident que cela, quand même... Voilà pourquoi si j'ai dit que techniquement, c'était du prg de 4e (Pythagore et bissectrice), j'ai aussi ajouté que pour le donner en devoir en 4e, il faut rajouter des questions intermédiaires... Sans quoi, bernique ! Je ne vois personne y arriver sans cela, à part les futurs génies des mathématiques du XXIe siècle...

C'est bon ?

Demain, je pourrais expliquer comment j'en suis arrivé à cette solution...

@+


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