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#1 21-04-2018 21:37:55

Maxime
Invité

Matrices

Bonjour,

Petit exercice de révision portant sur les matrices 8-)

Un réseau comprend trois pages A, B et C.
Les liens sont indiquées dans le graphe.
Un employé navigue de façon aléatoire.
A chaque clic il choisit de façon équiprobable un des liens.
Apres [tex]n[/tex] clics, on note [tex]X_n[/tex] la variable aléatoire donnant la page sur laquelle se trouve l’employé et [tex]P_n[/tex] la matrice ligne [tex](p(X_n=A) p(X_n=B) p(X_n=C))[/tex].

1) Ecrire la matrice [tex]M[/tex] telle que [tex]P_{n+1}=P_nM[/tex], en déduire une relation entre [tex]P_n[/tex], [tex]M[/tex] et [tex]P_0[/tex].

Pouvez-vous m'aider à répondre à cette première question s'il vous plaît ?

Paradoxalement je ne parviens pas à établir l'arbre... alors que j'y arrive d'habitude.

Graphe

#2 21-04-2018 21:46:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Matrices

Bonsoir,

  Je vais t'aider à démarrer. Tu dois exprimer $P(X_{n+1}=A)$ en fonction de $P(X_n=A)$, $P(X_n=B)$ et $P(X_n=C)$.

D'après la formule des probabilités totales, tu as
\begin{eqnarray*}
P(X_{n+1}=A)&=&P(X_{n+1}=A|X_n=A)P(X_n=A)+P(X_{n+1}=A|X_n=B)P(X_n=B)+\\
&&\quad P(X_{n+1}=A|X_n=C)P(X_n=C).
\end{eqnarray*}

Mais, $P(X_{n+1}=A|X_n=A)$ est nul, puisque si tu es en $A$ à l'instant $n$, tu vas cliquer et tu seras ou en $B$ ou en $C$ à l'instant $n+1$. De même, comme on ne peut pas cliquer de $C$ vers $A$, on a aussi $P(X_{n+1}=A|X_n=C)=0$.

Reste à calculer $P(X_{n+1}=A|X_n=B)$. Si on est en $B$ après $n$ clics, on va par le clic suivant de façon équiprobable en $A$ ou en $C$. Ainsi, $P(X_{n+1}=A|X_n=B)=1/2$. Et donc
$$P(X_{n+1}=A)=\frac 12 P(X_n=B).$$
Je te laisse continuer...

F.

Hors ligne

#3 21-04-2018 21:53:47

Maxime
Invité

Re : Matrices

J'ai compris, merci beaucoup. C'est en réalité très simple...

Je fais la même chose pour p(X_{n+1}=B) et pour p(X_{n+1}=C) ?

#4 21-04-2018 22:41:17

Maxime
Invité

Re : Matrices

arbre

#5 22-04-2018 05:52:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Matrices

Ok.

Hors ligne

#6 22-04-2018 08:10:45

Maxime
Invité

Re : Matrices

[tex]a_{n+1}=p(A_{n+1}) = p(X_{n+1} = A)=0,5b_n[/tex]
[tex]b_{n+1}=p(B_{n+1}) = p(X_{n+1} = B)=0,5a_n+c_n[/tex]
[tex]c_{n+1}=p(C_{n+1}) = p(X_{n+1} = C)=0,5a_n+0,5b_n[/tex]

[tex](a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}) = (a_n, b_n, c_n)*M[/tex] avec

[tex]M =

0 ; 0,5 ; 0,5
0,5 ; 0; 0,5
0 ; 1; 0[/tex]

#7 22-04-2018 08:13:04

Maxime
Invité

Re : Matrices

[tex]P_{n+1}=P_n*M[/tex]
soit [tex]P_n=P_0*M^n[/tex]

#8 22-04-2018 18:01:11

Maxime
Invité

Re : Matrices

2) a) Soit [tex]Q=\begin{pmatrix}1&1&2\\
1&1&-4\\
1&-2&4\\
\end{pmatrix}[/tex].

Calculer [tex]H=Q^{-1}MQ[/tex] et montrer que [tex]H=D+T[/tex] où [tex]D=\begin{pmatrix}1&0&0\\
0&-0,5&0\\
0&0&-0,5\\
\end{pmatrix}[/tex] et [tex]T=\begin{pmatrix}0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}[/tex].

Fait.

2) b) Montrer que pour tout [tex]n \geq 1[/tex] on a [tex]D^nT=(-0,5)^nT.[/tex]

Je fais le produit matriciel à la main ou je fais une récurrence ?

#9 25-04-2018 18:36:50

Maxime
Invité

Re : Matrices

2) b) fait.
3) fait.

4) Exprimer [tex]P_n[/tex] en fonction de [tex]n[/tex].

[tex]M^n=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}-\dfrac{3n-7}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3n-4}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\,(-0.5)^n\\\\\dfrac{2}{9}-\dfrac{3n+2}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}+\dfrac{3n+5}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\,(-0.5)^n\\\\\dfrac{2}{9}+\dfrac{6n-2}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{4}{9}-\dfrac{6n+4}{9}\,(-0.5)^n&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\,(-0.5)^n\\\end{pmatrix}[/tex]

De plus,

La suite [tex](P_n)[/tex] ne dépend pas de l'état initial [tex]P_0[/tex].

[tex]\lim_{n\to +\infty} M^n =[/tex] [tex]M_{\infty}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\\\\\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}[/tex]

[tex]\lim_{n\to +\infty} P_n=[/tex][tex]P_0M_{\infty}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}&\dfrac{4}{9}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}[/tex]

« quelle page web sera atteinte avec la plus grande probabilité après un grand nombre de clics ? »

C'est la B avec une probabilité de 4/9 !

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