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#1 17-04-2007 17:31:09

kein59495
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Limite d'une somme

V est la suite définie pour tout entier n spérieure ou égale à 1par :
Vn =    1 / racine (2n² +1 )   + 1/ racine (2n²+2) + .... + 1/ racine (2n²+n)

1) démontrer que pour tout p appartenant (1;2;3. ....;n) on a 1/ racine (2n²+n ) inférieure ou égale à 1/ racine ( 2n²+p) inférieure ou égale 1/ racine (2n²+1)

2) démontre que la suite (Vn) converge et déterminer sa limite

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#2 17-04-2007 17:36:45

galdinx
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Re : Limite d'une somme

Salut,

Nous ne sommes pas des distributeurs automatiques de réponse..
Sur ce forum, comme sur beaucoup d'autres, un minimum de savoir-vivre s'impose...
Il n'e devrait y avoir aucun problème de ce côté, puisque, je viens de le vérifier, dans mon dictionnaire figurent toujours ces mots tout simples : bonjour, bonsoir, s'il vous plaît, merci...

Au plaisir de te relire sous une autre forme...

Galdinx.


PS : Yoshi, tu m'excuseras de copier tes messages mais je manque d'originalité à force de toujours dire la meme chose...

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#3 17-04-2007 17:44:46

kein59495
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Re : Limite d'une somme

Bonsoir,

V est la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par :
Vn =    1 / racine (2n² +1 )   + 1/ racine (2n²+2) + .... + 1/ racine (2n²+n)

1) démontrer que pour tout p appartenant (1;2;3. ....;n) on a 1/ racine (2n²+n ) inférieure ou égale à 1/ racine ( 2n²+p) inférieure ou égale 1/ racine (2n²+1)

2) démontre que la suite (Vn) converge et déterminer sa limite

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance !!!!!!!!!


[EDIT]
Message modifié (a minima pour ne pas en trahir l'esprit) par Yoshi pour le rendre  présentable...

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#4 17-04-2007 20:35:19

yoshi
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Re : Limite d'une somme

A Galdinx,

Pas de Copyright !!! Mes "formules" sont sous licence libre GNU/GPL.. :-)

Content de te relire

@+...

{EDIT]
A kein59495,

On ne fera pas le travail à ta place : ce serait plus mauvais service à te rendre parce que le plus sûr moyen de ramasser une "bâche" au prochain DS !
Donc, questions rituelles :
- Qu'as-tu déjà fait ?
- Où bloques-tu ?

Voilà le plan :
- Comparer 2n²+1, 2n²+p et 2n²+n
- Comparer ensuite [tex]sqrt{2n^2+1},\;sqrt{2n^2+p}\;et\;sqrt{2n^2+n}[/tex]
- Comparer enfin [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}},\;\frac{1}{sqrt{2n^2+p}}\;et\;\frac{1}{sqrt{2n^2+n}}[/tex]
- En déduire que la suite Vn est majorée
- La majorer effectivement (en majorant chaque terme)
- chercher la limite de la suite "majorée" (petite astuce de calcul au passage

@+

Dernière modification par yoshi (18-04-2007 07:16:26)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 18-04-2007 09:30:47

kein59495
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Re : Limite d'une somme

Je ne comprends rien du tout aussi !!!!!!!!!!!!!!! Essayer au mins de mexpliquer comment faire sans le donner les réponses sa me ferait plaisir !!!!!!

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#6 18-04-2007 09:56:10

yoshi
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Re : Limite d'une somme

Bonjour,

"Je ne comprends rien du tout" est une phrase que je rejette parce que ce n'est jamais exact...
Quant à

Essayer au mins de mexpliquer comment faire sans le donner les réponses sa me ferait plaisir !!!!!!

c'est une formulation (je veux bien croire que ce n'est pas volontaire) qui est limite désobligeante (voire insultante") si l'on relit ma réponse...
En effet qu'est-ce qu'un plan, sinon, une méthode de résolution (et pas la solution elle-même) ? Et donc ça devrait répondre à ta demande !

Bon, alors re-commençons par le commencement.
J'ai écrit
- Comparer 2n²+1, 2n²+p et 2n²+n... Ca veut dire quoi ? Ca veut dire ranger ces 3 nombres dans l'ordre croissant avec [tex]\le[/tex] comme séparateur...
Comment est-ce possible ? On voit bien que,  au nombre 2n² (toujours positif), on ajoute successivement 1, puis p, puis n avec [tex]1\le p\le n[/tex]
Conclusion pour ces 3 nombres ?

- Comparer ensuite [tex]sqrt{2n^2+1},\;sqrt{2n^2+p}\;et\;sqrt{2n^2+n}[/tex] Ca c'est du cours la racine carrée est une fonction croissante, donc les images par la fonction racine carrée des nombres (ordonnés ci-dessus) doivent pouvoir être facilement ordonnées elles-mêmes avec [tex]\le[/tex] comme séparateur...

- Comparer enfin [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}},\;\frac{1}{sqrt{2n^2+p}}\;et\;\frac{1}{sqrt{2n^2+n}}[/tex] en supposant a et b deux nombres strictement positifs, avec [tex]a\le b[/tex], le cours d'une des années précédentes t'aprend que [tex]{1 \over b}\;\le\;{1 \over a}[/tex]

Bon, alors, tu vas jusqu'au classement n°3 et tu reviens montrer ce que tu trouves... Pour la suite on verra après...

@+


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#7 18-04-2007 10:10:34

kein59495
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Re : Limite d'une somme

1)  2n²+1 inférieur ou égale à 2n²+p inférieure ou égale a 2n²+ n

2)racine ( 2n²+n) inférieure ou égale a racine (2n²+p) inférieure ou égale à racine (2n²+1)

3)1/racine (2n²+n) inférieure ou égale a 1/racine (2n²+p) inférieure ou égale a 1/(2n²+1)


Je pense que c'est sa !!!!! Mais j nen suis pa sur

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#8 18-04-2007 10:20:55

yoshi
Modo Ferox
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Re : Limite d'une somme

Salut,

Oui, 1 et 3, c'est ça... Pas le 2... C'est juste le contraire...
En effet lorsqu'une fonction f est croissante  [tex]x_1\le x_2[/tex] entraîne [tex]f(x_1)\le f(x_2)[/tex]...

Bon, t'es pas perdu pour les Maths. On passe à la suite : Pour majorer ta somme ça doit être transparent maintenant : il suffit de remplacer chaque terme de la somme à partir du 2e par l'expresion du nombre qui est tojours supérieur ou égal, à savoir [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex] et tombes donc sur n termes identiques. Simplifie l'écriture de cette somme et reviens...

@+


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#9 18-04-2007 10:24:39

kein59495
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Re : Limite d'une somme

Je nai pa vraiment compri ce que tu me demande de faire aurait tu si sa ne te gene pa une autre façon de ma la poser car la je ne vois vraiment pa en quoi tu veu venir !!!!!

Merci davance

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#10 18-04-2007 10:38:45

yoshi
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Re : Limite d'une somme

Bon,


Non, il n'y a pa d'autre moyen... Mais on va couper en "tranches plus fines...
Les termes de la somme à partir du 2e sont :
[tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+2}}[/tex]
[tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+3}}[/tex]
[tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+4}}[/tex]
................................................
[tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+n}}[/tex]
on est d'accord ?

Pour chacun de ces termes, on peut écrire :
[tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+2}}\le \frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]
[tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+3}}\le \frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]
[tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+4}}\le \frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]
................................................
[tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+n}}\le \frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]
on est d'accord ?

Donc, dans la somme Vn :
[tex]V_n= \frac{1}{sqrt{2n^2+1}}+\frac{1}{sqrt{2n^2+2}}+...+\frac{1}{sqrt{2n^2+p}}+...+\frac{1}{sqrt{2n^2+n}}[/tex]
tu vas remplacer tous ces termes depuis le 2e jusqu'au dernier par [tex]\le \frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]...
Tu auras bien une nouvelle composée, du 2e terme au dernier, de nombres plus grands qu'avant, d'accord ?
Et bien, tu auras ainsi majoré Vn... OK ?

Fais-le et reviens...

@+


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#11 18-04-2007 10:41:29

kein59495
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Re : Limite d'une somme

Pas compri la derniere chose a faire !!!!!!!!!!

Excuse moi de tembeter mais jai vraiment besoin de reussir cet exo !

En te remerciant a lavance

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#12 18-04-2007 11:05:40

yoshi
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Re : Limite d'une somme

Hmmmm,

La "dernière" chose à faire" ???
Dans :
Donc, dans la somme Vn :
[tex]V_n= \frac{1}{sqrt{2n^2+1}}+\frac{1}{sqrt{2n^2+2}}+...+\frac{1}{sqrt{2n^2+p}}+...+\frac{1}{sqrt{2n^2+n}}[/tex]

- tu vas, à la place de [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+2}}[/tex] écrire : [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]

- tu vas, à la place de [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+3}}[/tex] écrire : [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]
..................................................................................................................................
- tu vas, à la place de [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+p}}[/tex] écrire : [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]
...................................................................................................................................
- tu vas, à la place de [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+n}}[/tex] écrire : [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]

et tu obtiendras une deuxième V'n telle [tex]V_n\;\le\;V_n^'[/tex] .
Ca,  c'est clair ? Oui ou Non ?

Une fois cela fait, réponds a la question : combien de fois le terme [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex] est-il présent dans V'n ?

Donc, tu peux simplifier maintenant l'écriture de cette somme.
En effet classe de 6e : la somme de 3 nombres égaux à 5 : 5 + 5 + 5, s'écrit aussi 5 x 3
Bin, ici il ne reste plus qu'à trouver, pour simplifier V'n, la réponse à la denière question posée ci-dessus, pour savoir par quoi multiplier [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]..

@+


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#13 18-04-2007 12:07:48

kein59495
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Re : Limite d'une somme

et c quoi la réponse ? repon stp

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#14 18-04-2007 12:19:41

yoshi
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Re : Limite d'une somme

Bonjour,

La réponse à quoi ?

Ta limite est [tex]\frac{1}{sqrt 2}=\frac{sqrt 2}{2}[/tex]
Le plus "simple" après avoir majoré la suite Vn est d'en minorer chaque terme avec [tex]\frac{1}{sqrt{2n^2+n}}[/tex]
Tu auras ainsi ine suite Vn coincée entre deux suites qui convergent vers [tex]\frac{sqrt 2}{2}[/tex]

Pour chercher la limite, dans les 2 cas mettre n² en facteur dans l'expression sous la racine, puis "sortir" le n² de sous la racine : on obtient n, qu'on simplifie avec celui du haut..
Après on fait tendre n vers l'infini...

@+


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#15 14-05-2007 14:10:33

kein59495
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Re : Limite d'une somme

Pa compri la 2 eme question

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#16 14-05-2007 14:38:10

yoshi
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Re : Limite d'une somme

C'était quoi exactement cette 2e question ?
Parce que tu refais surface près d'un mois plus tard et là je ne sais plus du tout ce que tu as compris ou pas...

On envisage la mise en place d'un tchat dans Bibmath, là tu pouras t'exprimer en style télégraphique si ça te chante, d'ici là fais un effort parce que moi, vois-tu, je commence à être lassé !

[EDIT]
Je tai demandé d'appliquer le "théorème des gendarmes"...
Somme des termes majorés :
[tex]\frac{n}{sqrt{2n^2+1}}[/tex]
Au dénominateur, sous la racine, écris un produit de facteurs en mettant n² en facteur : [tex]n^2(2+{1 \over n^2})[/tex]
Et tu obtiens :
[tex]\frac{n}{sqrt{n^2(2+{1 \over n^2})}}[/tex]
Maintenant, il faut simplifier en "sortant" le n² de dessous la racine (simplification de racines --> 3e) qui devient alors n, la racine carrée de n², c'est n
...
Tu simplifies alors ta fraction par n, puis tu fais tendre n vers l'infini et tu trouves la limite...
Tu fais le même boulot avec la somme des termes minorés, tu fais tendre vers l'infini et tu trouves la même limite...
Conclusion ?

Dernière modification par yoshi (14-05-2007 19:36:38)


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#17 15-05-2007 10:43:13

kein59495
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Re : Limite d'une somme

je compren rien du tout di moi la reponse j dois rendre mon dm a 13h stp
je te revaudrai sa
en te remerciant a lavance

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#18 15-05-2007 15:40:30

yoshi
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Re : Limite d'une somme

Bonjour,

Tu dois quand même bien penser que nous aussi on a du travail...
Donc, il est trop tard...
Mais
1. Devant ta mauvaise volonté évidente (seul le résultat t'intéresse), je ne t'aurais pas donné ce résultat,
2. Un résultat sec sans la démarche pour y parvenir, ça ne vaut rien et ça "compte pour du beurre", si tu connais cette expression
3. Si tu te donnais la peine de chercher et de lire au lieu de gémir, tu t'apercevrais que cette fameuse limite, je te l'ai déjà donnée 2 ou 3 posts plus haut...

Tu devrais méditer cette phrase (de je ne sais plus qui, hélas) : Science sans conscience n'est que ruine de l'âme.

@+


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