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Cédric

Invité

Inversibilité

Bonjour,
le produit de deux matrices AB est-il inversible SI ET SEULEMENT SI A et B sont inversibles ?
J'arrive juste à montrer  l'implication A et B inversible alors AB inversible mais pas la réciproque !
Merci pour votre aide,
C.

tibo

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Re : Inversibilité

Salut,

Ça commence un peu à dater pour moi (5 ans sans toucher aux matrices et j'ai déjà tout oublié^^),
mais il me semble qu'en passant par le déterminent c'est assez rapide :

Si $A$, $B$ et $M$ sont trois matrices carrés d'ordre $n$ telles que $M=AB$,
Alors $det(M)=det(A)det(B)$.

On a alors $det(M)\neq 0\ \Leftrightarrow\ (det(A)\neq0\ \text{et}\ det(B)\neq0)$.

Le souci est que si j'ai $A$, $B$ et $M$ trois matrices quelconques telles que $AB=M$,
Alors ($A$ et $B$ carrées d'ordre $n$) $\Rightarrow$ ($M$ carrée d'ordre $n$).
Mais la réciproque est fausse.

Du coup, pour avoir une équivalence dans ta propriété, il faut ajouter des hypothèses sur les dimensions de $A$ et $B$.

Dernière modification par tibo (04-04-2018 17:37:33)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !