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#1 02-04-2018 10:44:04

Dattier
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Problème de complexité géométrique.

Salut,


La complexité géométrique est le nombre de coups de compas et régle minimal, pour construire telle chose.

Sachant, que tracer un segment aussi long que souhaité compte un coup, et tracer un cercle compte 1 coup également.

Quelle est la complexité de la bissection d'un angle ?

Il me semble que cela est 4, mais je ne sais pas le justifier, alors je propose cela à votre sagacité.


Cordialement.


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#2 09-04-2018 18:13:32

FaDa2Geom3
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonsoir,
On sait que les pieds H et H' des perpendiculaires abaissées sur les cotés de l'angle depuis un point M de la bissectrice sont à égale distance du sommet O de l'angle. Donc premier arc de cercle coupant les cotés en H et H'. Le triangle OHH' est isocèle en O, donc la bissectrice de O est aussi médiatrice de HH'. On détermine un point N de cette bissectrice/médiatrice par deux arcs de cercles égaux de centres H et H' et concourants On trace ON. Ca fait bien 4.
Cdlt.

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#3 29-04-2018 10:17:18

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonjour,

Qui te dit qu'il n'existe pas une construction plus rapide ?

Cordialement.


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#4 30-04-2018 11:23:46

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonjour,

Par exemple ici en 3 coups (les 2 cercles sont de même rayons) :

tracer de la bissectrice en 3 coups

Cordialement.

Dernière modification par Dattier (30-04-2018 11:25:32)


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#5 04-05-2018 19:09:46

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonsoir,

Finalement j'ai une justification (pour 3 coups).

Pour marquer un point entre les 2 demi-droites (vides de toutes figures), il faut au moins 2 figures qui s'interceptent, donc au moins 2 coups, plus au moins un autre pour tracer la bissectrice, ainsi il faut au moins 3 coups pour tracer la bissectrice.

Etant donné qu'il existe une construction avec 3 coups, donc la complexité géométrique de la bissectrice est 3.

Nouvelle question :
Quelle est la complexité géométrique étant donné un triangle pour tracer le centre du cercle circonscrit ?

Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (04-05-2018 19:11:30)


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#6 01-09-2018 16:56:17

Michel Coste
Invité

Re : Problème de complexité géométrique.

Bien tenté, mais il y a une erreur dans la présentation de Dattier : il manque un tracé de cercle qui permette d'avoir A et B équidistants de l'origine commune des deux demi-droites.

#7 01-09-2018 17:26:38

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonsoir,

Possible alors, quelle serait selon toi la complexité géométrique du tracer de la bissectrice, justification à l'appuie ?


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#8 01-09-2018 17:39:49

Michel Coste
Invité

Re : Problème de complexité géométrique.

Je ne pense pas qu'on puisse faire avec moins de quatre tracés, mais je n'en ai pas de preuve.
Pour la direction de la bissectrice, deux tracés suffisent.

#9 04-09-2018 10:43:06

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonjour,

En 3 coups toujours, les 2 cercles sont de même rayons (donc la complexité est de 3) :

solution

Dernière modification par Dattier (04-09-2018 10:46:20)


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#10 04-09-2018 12:27:52

Michel Coste
Invité

Re : Problème de complexité géométrique.

Encore raté, et même pire que ta tentative précédente !
Comment fais tu pour tracer un cercle centré sur une droite donnée et tangent à une autre droite donnée ?  Comme ça, au pif ?
Ta construction ne sera valable qu'à condition d'ajouter un paquet d'autres tracés, et tu arriveras au total à bien plus que quatre.

#11 04-09-2018 13:15:49

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Pourquoi on ne pourrait pas faire ceci en un seul coup de compas :

sol210.png


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#12 04-09-2018 14:14:14

yoshi
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonsoir,

Pour moi, 1 tracé = 1 coup...
2 coups pour les cercles...
2 coups pour l'angle
et 1 coup pour la bissectrice (je ne compte pas le pointage de l'intersection des deux cercles)...
Moi, je compte 5...

Dattier a écrit :

(...) ceci en un seul coup de compas

Euh, ou je comprends plus rien, ou je n'ai jamais appris à tracer des lignes droites avec un compas...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#13 04-09-2018 14:23:42

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonjour,

Je parlais du cercle vert, les deux demi- droites étant déjà tracé.

Ensuite, il me semble que 4 coups suffisent :

sol310.png

Dernière modification par Dattier (04-09-2018 14:24:28)


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#14 04-09-2018 16:30:40

Michel Coste
Invité

Re : Problème de complexité géométrique.

C'est sûr, quatre tracés suffisent, et tu viens de répéter la construction ultra-classique de la bissectrice.

#15 04-09-2018 16:49:45

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Je répondais à Yoshi, j'avais une question pour toi :

Dattier a écrit :

Pourquoi on ne pourrait pas faire ceci en un seul coup de compas :

https://i72.servimg.com/u/f72/19/69/75/42/sol210.png


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#16 04-09-2018 16:58:56

Michel Coste
Invité

Re : Problème de complexité géométrique.

Ceci quoi ?
Et yoshi parlait de cinq tracés pour ce que tu proposais avec les cercles tangents (six à mon avis puisqu'on veut que les cercles tangents aient même rayon). Il connaît bien sûr la construction à quatre tracés, donnée dans le deuxième message de ce fil. Tu n'as pas lu ce message ?

#17 06-09-2018 16:41:40

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Bonjour,

Je répète ma question une troisiéme fois, en espèrant maintenant avoir une réponse, pourquoi avec un seul coup de compas, ne pourrait pas t-on obtenir ceci :

sol210.png

Bonne journée.


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#18 06-09-2018 17:37:42

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

Salut,

Effectivement, il est possible de tracer un cercle avec un coup de compas... c'est tout l'intérêt du compas non ?

Je pense savoir d'où tu veux en venir.
On pose d'abord la mine du compas sur l'intersection des demi-droites, puis la pointe sur une des demi-droites ; et on trace le cercle.
C'est en effet faisable dans le monde réel, mais ce n'est pas ce qu'on entend classiquement quand on parle de construction au compas.

On peut toujours définir une nouvelle notion : la dattier-constructibilité, et il en découlerait sûrement quelques propriétés intéressantes ; mais on n'aurait alors pas le droit de sous-entendre que c'est la même chose que la constructibilité "classique" (à moins de le démontrer).


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#19 06-09-2018 18:40:28

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

tibo a écrit :

Salut,

Effectivement, il est possible de tracer un cercle avec un coup de compas... c'est tout l'intérêt du compas non ?

Je pense savoir d'où tu veux en venir.
On pose d'abord la mine du compas sur l'intersection des demi-droites, puis la pointe sur une des demi-droites ; et on trace le cercle.
C'est en effet faisable dans le monde réel, mais ce n'est pas ce qu'on entend classiquement quand on parle de construction au compas.

On peut toujours définir une nouvelle notion : la dattier-constructibilité, et il en découlerait sûrement quelques propriétés intéressantes ; mais on n'aurait alors pas le droit de sous-entendre que c'est la même chose que la constructibilité "classique" (à moins de le démontrer).

Salut,

Tout d'abord merci d'avoir pris le temps de me répondre.
Ensuite pourquoi l'usage que je fais du compas n'est pas un "bon" usage ?
Si ce n'est pas un bon usage, alors dit moi quelles sont les bon usages.

Merci.

PS : je suis le premier à reconnaître que pour faire des maths la bonne volonté est indispensable, y en a qui ne le croit pas, ou font mine de pas y croire, ici c'est l'occasion de leur ouvrir les yeux, ou qu'ils le reconnaissent publiquement : que la bonne volonté est indispensable en maths.


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#20 06-09-2018 19:54:11

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

Je n'ai pas parlé de bon ou de mauvais usage du compas.
Les mathématiciens se sont mis d'accord sur une définition, et cela leur permet de se comprendre entre eux et de pouvoir travailler ensemble plus efficacement.
L'utilisation que tu sembles vouloir faire de ton compas ne rentre pas de la définition "usuelle".
Cela ne veut pas dire que c'est un mauvais usage.


Certes rien ne t'empêche de définir de nouveaux objets, mais évite de les appeler de la même manière que des objets déjà existant et bien défini, car cela rend les choses peu claires et nous induit en erreur (ce qui est peut-être le but).

Quand tu parles dans ton premier post de "de coups de compas et règle", nous on entend implicitement "construction à la règle et au compas usuelle".
Si tu ne veux pas utiliser cette définition implicite, alors précise-le et explicite exactement ce que l'on a le droit ou pas de faire avec la règle et le compas.

D'ailleurs je peux te proposer une construction en 0 coup :
En partant de deux demi-droites tracées sur une feuille, il me suffit de plier la feuille de manière à superposer les deux demi-droites, et le pli ainsi obtenu est exactement la bissectrice.

Dernière modification par tibo (06-09-2018 20:01:27)


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#21 06-09-2018 20:01:20

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

Non, tu ne réponds pas à ma question (dois-je la posé aussi 3 fois pour avoir réponse ?) :
Quelle est l'emploie "usuelle" du compas ?


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#22 06-09-2018 20:06:12

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

En mathématique, l'utilisation usuelle du compas est donnée par le troisième axiome d'Euclide :
"Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre".


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#23 06-09-2018 20:10:03

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

J'en déduis que pour tracer un cercle il faut au préalable tracé un segment de droite, pour une utilisation usuelle du compas, c'est çà ?

PS : si tu reconnais que (1) "la bonne volonté est indispensable en maths", inutile de me répondre, sans cela j'attends une réponse de la part de ceux qui ne croient pas en (1).

Dernière modification par Dattier (06-09-2018 20:11:30)


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#24 06-09-2018 20:53:33

tibo
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Re : Problème de complexité géométrique.

Je ne comprend pas du sens de la phrase "la bonne volonté est indispensable en maths" ; du coup je continue à répondre.

Mon dernier post était un peu expéditif, et j'aimerais le reformuler.

En fait la construction à la règle et au compas est très bien définie sur Bibmath.
On y trouve notamment que l'on peut construire "les cercles centrés en un point de $P$, et de rayon $AB$, où $A$ et $B$ sont des éléments de $P$." où $P$ est l'ensemble des points déjà construits.

Donc oui pour tracer un cercle il te faut déjà au moins 1 point et 1 segment (ou 3 points distincts).

Dernière modification par tibo (06-09-2018 20:54:27)


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#25 06-09-2018 20:56:41

Dattier
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Re : Problème de complexité géométrique.

tibo a écrit :

Donc oui pour tracer un cercle il te faut déjà au moins 1 point et 1 segment (ou 3 points distincts).

Ok, comment construis-tu la bissectrice en 4 coups ?

Merci de préciser à chaque fois, le centre et le segment utilisé ?


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