Problèmes équation linéaire

eldou · 27-03-2018 18:13:13

Bonjour,

Je sèche sur 5 problèmes fournis dans le bouquin intitulé "Mathématiques de base, cours et problèmes, 2e édition" (Série Schaum).

Problèmes de la page 29 :

1) Un réservoir est vidé par deux conduits. Un conduit peut vider le réservoir en 30 min, l'autre peut le vider en 25 min. Si le réservoir est rempli aux 5/6 et que les deux conduits sont ouverts, dans combien de temps le réservoir sera-t-il vide ?

2) A peut faire un travail en 10 jours. Après 2 jours de travail, B se joint à lui, et ensemble ils le terminent en 3 jours. En combien de jours B seul aurait-il pu faire le travail ?

3) Quand, après 12h00, les aiguilles d'une horloge sont-elles de nouveau rassemblées pour la première fois ?

4) Quelle quantité d'eau doit-on utiliser pour préparer une solution 1:5000 de bichlorure de mercure, à partir d'une tablette de 0,5 g ?

5) Si un corps subit une force due à la pesanteur de 20 N à la surface de la terre, quelle serait cette force, à 1600 km au-dessus de la surface ? (Supposer que le rayon de la terre est 6400 km)

Je précise que j'ai les réponses à ces problèmes. Ce qui m'intéresse c'est le raisonnement, la mise en équation des ces problèmes, qui aboutissent aux résultats.

Si une âme charitable peut m'éclairer ?
Merci d'avance.

Bien à vous.

SpeakX · 27-03-2018 19:53:00

Bonjour,
Raisonez par les débits, supposons sans perte de généralité que le volume du réservoir est $1L$ pour le débit du premier "trou" $q_1 = 1L/30min = \frac{1}{30*60}Ls^{-1}$ et pour le deuxième $q_2 = 1L/25min = \frac{1}{25*60}Ls^{-1}$, donc le débit du réseroive en présence des deux trous est $q = q_1 + q_2$ et donc pour $V=5/6L$ on a $\Delta t = \frac{V}{q}$...
Je vous invite à faire les autres questions!
Bonne chance,
SpeakX

Dernière modification par SpeakX (27-03-2018 19:53:15)

tibo · 27-03-2018 19:54:01

Salut,

Ces problèmes ressemblent à ceux posés il y a un demi-siècle à la fin de l'école élémentaire, et qui ont traumatisé des générations d'écolier.

1) Le conduit A vide $\dfrac{1}{30}$ du réservoir par minute.
Le conduit B vide $\dfrac{1}{25}$ du réservoir par minute.
Donc les deux conduits A et B en ensemble vident en $\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{25}=\dfrac{11}{150}$ du réservoir par minute.
Soit $x$ le nombre de minutes nécessaires pour vider 100% du réservoir avec les conduits A et B.
On obtient alors la relation $\dfrac{11}{150}x=1$.

Remarque : Ce raisonnement est purement théorique. Selon la nature du fluide dans le réservoir, la vitesse d'écoulement peut ne pas être constante.
Notamment, si c'est de l'eau, plus le réservoir est plein, plus la vitesse d'écoulement est rapide.
C'est pour cela que l'on met du sable dans les sabliers, et qu'il est si difficile de fabriquer une clepsydre.

2) A finit $\dfrac{1}{10}$ du travail par jour.
B finit $x$ du travail par jour, avec $x\in]0;1[$.
Donc A et B finissent $\dfrac{1+10x}{10}$ du travail par jour.
Quand B arrive, il reste $\dfrac{4}{5}$ du travail à accomplir, et ils le font en 3 jours.
On a donc la relation $\dfrac{1+10x}{10}\times3=\dfrac{4}{5}$.
On trouve alors $x$ et on finit ensuite comme en 1).

3) On fait un remix du paradoxe de Zenon. ^^
A 13h00, la petite aiguille est sur 5min.
5 minutes plus tard, la grande aiguille a rejoint la position précédente de la petite, MAIS la petite aiguille a avancé elle aussi.
Alors, la grande aiguille parcourt cette petite distance, MAIS la petite aiguille a continué à avancer !
Et ainsi de suite... et la grande aiguille ne rattrape jamais la petite...

4) Je ne suis pas sûr du tout... La réponse du livre est-elle 2.5L ?
Si oui, alors c'est une simple proportionnalité.
Sinon... J'en sais rien.

5) Pour ce problème, je sais le résoudre en faisant une très grosse approximation :
On suppose que la terre est un point de masse M, et le corps un point de masse m.
On peut alors utiliser la troisième loi de Newton : $F=\dfrac{GMm}{r^2}$, où $G$ est la constante de gravitation (peu importe sa valeur).
Avec la force subie à la surface de la terre, on trouve la valeur de $GMm$ (attention aux unités !).
Puis on détermine la force en altitude.

Dernière modification par tibo (27-03-2018 20:21:20)

eldou · 27-03-2018 20:58:23

Bonsoir,

Intéressant ...
Merci pour votre contribution !

Je vais quand même vous joindre les solutions du livre :

1) 11 4/11 min

2) 6 jours

3) 13h 5/11 min

4) 2500 g

5) 12 4/5 N

Bien à vous.

yoshi · 27-03-2018 21:25:52

Bonsoir,

Tiens, rien que pour le fun, à la manière des élèves qui passaient le Certificat d'Etudes Primaires !!!
Exercice 2
Sans équations, juste de l'arithmétique.
Après 2 j A a effectué [tex]\dfrac 1 5[/tex] du travail seul.
Reste à faire [tex]\dfrac 4 5[/tex] du travail initial.
A travaille encore 3 jours, ni plus vite, ni moins vite : il a donc encore fait [tex]\dfrac{3}{10}[/tex] du travail initial et le travail est terminé.
B donc fait pour sa part le complément, soit : [tex]\dfrac 4 5-\dfrac{3}{10}=\dfrac 1 2[/tex] du travail initial et ce en 3 jours...
Donc si B fait la moitié du travail total en 3 jours, il aurait fait le boulot seul en 6 jours...

Et maintenant en guise de vérification, prenons le problème à l'envers.
A ferait un certain travail en 10 jours, B en 6 jours.
A travaille seul durant deux jours, puis est rejoint par B.
Combien de temps A et B travaillant ensemble mettront-ils pour terminer le travail ?
Après deux jours, il reste encore [tex]\dfrac 4 5[/tex] du travail à faire

Ensemble A et B effectuent [tex]\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{30}+\dfrac{5}{30}=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}[/tex] dudit travail.
Donc temps cherché [tex]\dfrac{\dfrac 4 5}{\dfrac{4}{15}}=\dfrac 4 5\times \dfrac{15}{4}=3[/tex]
Réponse 3 jours.

@+

eldou · 27-03-2018 22:07:15

Merci bien.

Très bon raisonnement; je vois la lumière ;-)

J'aurais souhaité qu'ils mettent (dans le bouquin) le raisonnement, plutôt qu'une "bête réponse".

yoshi · 28-03-2018 08:28:19

Bonjour,

Je vais prendre le risque de dire : je suis en désaccord avec la réponse donnée pour l'horloge.
Je vais déjeuner et je reviens.

@+

yoshi · 28-03-2018 10:15:07

Re,

La bonne réponse est : 13 h 60/11 min soit 13 h 05 min 27 s 3/11

Arithmétique
La grande aiguille fait un tour en 60 min soit [tex] \dfrac{1}{60}\, tr/min[/tex]
La petite aiguille fait un tour en 720 min soit [tex] \dfrac{1}{720}\, tr/min[/tex]
Arithmétique
Le différentiel de vitesse est donc :
[tex]\dfrac{1}{60}-\dfrac{1}{720}=\dfrac{11}{720}\, tr/min[/tex]
A 13 h, la petite aiguille est sur le 5, la grande sur le 12.
La grande aiguille accuse donc un retard de [tex]\dfrac{1}{12}\,tr[/tex]
Temps en min nécessaire à la grande aiguille pour rejoindre la petite :
[tex]\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{11}{720}}=\dfrac{1}{12}\times\dfrac{720}{11}=\dfrac{60}{11}[/tex]
Il sera donc 13 h 60/11 min.

Algèbre :
soit $x$ le temps en min cherché.
Quand la grande aiguille aura rattrapé la petite elle aura parcouru une "distance" égale à celle de la petite plus le retard, d'où l'équation :
[tex]\dfrac{x}{60}= \dfrac{x}{720}+\dfrac{1}{12}[/tex]
Je mets tout sur dénominateur 720, puis je multiplie les deux membres par 720 :
(En 3e, alors Lycéen, j'avais appris à dire : << Je chasse les dénominateurs >>... A quoi mon prof en 2nde avait répliqué :<< Mon ami, continuez comme ça et c'est vous que je vais chasser ! >>)
[tex]12x=x+60\;\Leftrightarrow\;11x = 60 \;\Leftrightarrow\;x = \dfrac{60}{11}[/tex]

@+

eldou · 28-03-2018 13:03:08

Bonjour Yoshi,

Merci pour votre démonstration. Hélas, le livre n'est pas exempt d'erreurs.
L' éditeur aurait dû imprimer 13h 5 5/11 min

Bonne journée.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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