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#1 24-03-2018 01:19:15

Ahlam MA
Membre
Inscription : 21-03-2018
Messages : 2

Partie génératrice

Salut
pouvez-vous me donner un exemple pour comprendre que la décompsition d'un espace vectoriel comme combinaison linéaire d'une famille qui engendre cet espace n'pas toujours unique.
Merci d'avance

Hors ligne

#2 24-03-2018 02:17:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Partie génératrice

Bonjour

  Tu peux considérer l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 1 et la famille (1,X,X+1)
Elle est génératrice mais il n'y a pas unicité de la décomposition.

F

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#3 24-03-2018 12:23:31

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Partie génératrice

Bonjour,
En plus de l'exemple donné par Fred, tu peux essayer de le voir en remarquant que l'unicité de la décomposition dans une famille est équivalente au fait que la famille est libre :
si $(e_1,\cdots,e_n)$ est ta famille génératrice (j'imagine que tu es en dimension finie) et si $v$ s'écrie de deux manières comme
$v = \alpha_1 e_1 + \cdots \alpha_n e_n$ et  $v = \beta_1 e_1 + \cdots \beta_n e_n$, l'unicité de la décomposition revient à dire que $\alpha_i = \beta_i$ pour tout $i$. Si on prend la différence membre à membre des deux égalités plus haut, en aura alors
$\sum (alpha_i - \beta_i)e_i = 0$. Si la famille est libre, alors justement $\alpha_i - \beta_i = 0$ pour tout $i$, ce qui est exactement l'unicité de la décomposition.

Un autre point de vue est que, si la famille n'est pas libre, alors un des éléments de la famille s'écrit comme une combinaison linéaire des autres (tu vois pourquoi ?). Imaginons que ce soit $e_n = \sum \lambda_i e_i$. Donc, un vecteur $v=\alpha e_n$  (avec $\alpha \neq 0$) a deux décompositions : $(0,\cdots,0,\alpha)$ et $(\alpha \lambda_1, \cdots,\alpha \lambda_{n-1},0)$ qui ne sont pas identiques.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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