Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 19-03-2018 13:06:13

leo0
Membre
Inscription : 18-09-2017
Messages : 266

DM vecteurs

Bonjour Yoshi

j'espère que vous n'allez pas me gronder, j'ai fait une erreur dans l'énoncé :
ce qu'il faut lire et ceci :


A,B et C sont trois points quelconques
E et F sont deux points tel que $\overrightarrow{AE}$ = $\frac{1}{2}$  $\overrightarrow{AB}$ +  $\overrightarrow{BC}$
et  $\overrightarrow{AF}$ = 3/2  $\overrightarrow{AC}$ +  $\overrightarrow{BA}$

Hors ligne

#2 19-03-2018 13:11:59

leo0
Membre
Inscription : 18-09-2017
Messages : 266

Re : DM vecteurs

d'après le cours :  les  opérations sur les vecteurs notamment l'addition de 2 Vecteurs, le professeur nous a expliqué que lorsque l'on aurait à faire l'addition  de deux vecteurs
ce sera plutôt des  constructions que vous allez  faire
- - > si on nous demande par exemple de construire la somme du vecteur u et du vecteur v dans un exercice ( par exemple ) 

la définition de mon professeur concernant l'addition est la suivante :
Soient vecteur $\overrightarrow{u}$ et vecteur $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan
On appelle somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ le vecteur, noté vecteur $\overrightarrow{u}$ + vecteur $\overrightarrow{v}$ défini de la façon suivante :
A étant un point quelconque du plan,
B et C étant les deux points tel que $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}$ =$\overrightarrow{BC}$
alors $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{AC}$

moi, tout ça et bien je le comprends comme ça ( n'hésiter pas à me contredire, c'est ce que j'attends .....


d'après la définition, je vais représenter le vecteur $\overrightarrow{u}$
et je vais représenter un autre vecteur : le vecteur $\overrightarrow{v}$
et concrètement, qu'est ce que je dois faire ?
je dois représenter, je dois construire la somme de ces 2 vecteurs
et d'après la définition, la somme va être obtenue , ça va être un nouveau vecteur que je vais obtenir qui va être noté (vecteur $\overrightarrow{u}$+ vecteur $\overrightarrow{v}$)
et qui va être défini de la façon suivante :
- A est un point quelconque du plan donc le point A, je le place - - > supposons, que c'est , je sais pas, en fait peu importe )
et ensuite le vecteur $\overrightarrow{u}$ est égal au vecteur $\overrightarrow{AB}$ et le vecteur $\overrightarrow{v}$ est égal au vecteur $\overrightarrow{BC}$
donc le vecteur  $\overrightarrow{AB}$ est un représentant du vecteur $\overrightarrow{u}$ et pareil pour $\overrightarrow{BC}$

donc A je le fixe (il va être quelque part dans le plan )
c'est à dire qu'il va me manquer mon point B et mon point C
je vais construire avec un dessin un représentant de ce vecteur : le vecteur $\overrightarrow{u}$ mais avec la contrainte que son origine doit être le point A
forcèment , le point B va être quelque part dans la même direction ( je me base sur mon dessin )
et je sais bien que
lorsque je vais construire le point B, la figure que je vais obtenir ça va être un parallélogramme que je vais obtenir

- je prends mon compas ( au tableau le professeur l'a fait avec un compas )
- je prends la longueur du vecteur $\overrightarrow{u}$ en plaçant la point du compas à l'origine du vecteur
- je pique au point A et je fais un premier arc de cercle
- ensuite je prends la longueur : c'est à dire partant du point A jusqu'à l'origine du vecteur $\overrightarrow{u}$
- je pique à l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{v}$ et je vais avoir un second arc de cercle
- là ça va me représenter mon point B
- et là, ça va être un représentant du vecteur $\overrightarrow{u}$ et d'après la définition de 2 vecteurs égaux , ils ont la même direction, le même sens et la même longueur ( j'ai bien pris la mesure avec le compas ) le vecteur $\overrightarrow{u}$ a la même norme que  le vecteur $\overrightarrow{AC}$ on a évidemment la même longueur

pareil
je vais faire un représentant  du vecteur $\overrightarrow{v}$ c'est le vecteur $\overrightarrow{BC}$ ( puisque $\overrightarrow{v}$ =  $\overrightarrow{BC}$
je construis de la même  manière
- je prends la norme du vecteur $\overrightarrow{v}$
- je pique en B et je fais un premier arc de cercle
- ensuite je prends la longueur entre le point B et l'origine du vecteur $\overrightarrow{v}$
et là, ça va me représenter le point C
j'ai je vecteur $\overrightarrow{BC}$ et théoriquement, j'ai bien un représentant du vecteur $\overrightarrow{v}$
et d'après la définition
et là et bien, je regarde qu'est ce que  me dit la définition ?
et bien, elle me dit que le vecteur $\overrightarrow{u}$ plus le vecteur $\overrightarrow{v}$ c'est égal au vecteur $\overrightarrow{AC}$

Hors ligne

#3 19-03-2018 13:46:56

leo0
Membre
Inscription : 18-09-2017
Messages : 266

Re : DM vecteurs

maintenant, je dois construire le vecteur  $\overrightarrow{AE}$  tel que $\overrightarrow{AE}$ = $\frac{1}{2}$  $\overrightarrow{AB}$ +  $\overrightarrow{BC}$
et là, je reconnais
-  une addition de 2 vecteurs
et
-  la multiplication d'un vecteur par un réel puisque j'ai  1/2  $\overrightarrow{AB}$

alors j'ai envi de commencer comme avec :
pour voir à quoi correspond la moitié de  $\overrightarrow{AB}$
je vais multiplier la norme de AB par 1/2
ensuite je vais construire un représentant du vecteur    $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ mais il doit être d'origine d'origine A, la contrainte cette fois ci est le point A
donc je pique avec le compas au point A en prenant la moitié de la norme de AB

il faut que j'aille en cours ( je reprends ce soir )

Hors ligne

#4 19-03-2018 17:01:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : DM vecteurs

Bonjour,

Question : pourquoi as-tu ouvert une nouvelle discussion et pas continué à la suite de la précédente ?
Pour construire la somme de deux vecteurs $\vec u$ et $vec b$, tu commences par placer un point A dans le plan, oui.
Ensuite, tu as deux options possibles :
1. Tu fais ce que tu dis :
    a) Placer un deuxième point B tel que [tex]\overrightarrow{AB}=\vec u[/tex]
    b) Placer un troisème point C tel que [tex]\overrightarrow{BC}=\vec v[/tex]
         On a donc :
         [tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}[/tex]
         et
         [tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec u +\vec v[/tex]
         On a donc construit [tex]\overrightarrow{AC}=\vec u + vec v[/tex]

2. Tu construis un parallélogramme :
     a) On place un deuxième point B tel que [tex]\overrightarrow{AB}=\vec u[/tex]
     b) On place un troisième point C tel que [tex]\overrightarrow{AC}=\vec u[/tex]
     c) On place un quatrième point D tel que ABDC est un parallélogramme
    Et on a alors  [tex]\overrightarrow{AD}=\vec u + \vec v[/tex]
    Pourquoi ?
    Tu as dû apprendre que si ABDC est un parallélogramme, alors [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}[/tex] (et réciproquement).
Donc dans la somme [tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}[/tex], il suffit que je remplace [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] (par exemple) par  [tex]\overrightarrow{BD}[/tex] ce qui donne :
[tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}[/tex]
Pour additionner 3 vecteurs, avec la méthode 1, on les met bout à bout et on joint la première origine et la dernière extrémité.
Avec la méthode 2, on choisit 2 vecteurs, on construit un parallélogramme, le vecteur somme est portée par la diagonale ; puis on construit un parallélogramme avec ce vecteur somme et le représentant du 3e vecteur.

Ton exercice est bien plus abordable pour toi après ta rectification..
Construction.
Je place 3 points A, B et C non alignés.
Je note M et N les milieux de [AB] et [AC]
Je trace la droite (AC). Sur cette droite je place le point A' tel que AN = NC = CA'. J'ai donc [tex]\overrightarrow{AA'}=\frac 3 2\overrightarrow{AC'}[/tex]
(Au passage, en Latex, la fraction a/b se note \frac{a}{b})
Je trace la parallèle à (AB) passant par A'.
Sur cette droite je place le point F tel que A'F = BA dans le bon sens pour que [tex]\overrightarrow{A'F}=\overrightarrow{BA}[/tex].
J'ai laissé les traits de construction sur mon dessin : j'ai tracé un parallélogramme pour placer F parce que les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur.
J'ai bien [tex]\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'F}=\frac 3 2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}[/tex]
Je construis le point E.
M est le milieu de [AB] donc [tex]\overrightarrow{AM}=\frac 1 2 \overrightarrow{AB}[/tex]
Règle de la droite des milieux  :
M et N sont les mlieux de [AB] et [AC] donc (MN) // (BC).
Sur la demi-droite [MN), je place E tel que  ME =BC, par construction d'un parallélogramme.
J'aurai donc  [tex]\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{BC}[/tex]
D'où [tex]\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{ME}=\frac 1 2 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}[/tex]

J'ai E et F, il ne me reste plus qu'à tracer le vecteur [tex]\overrightarrow{EF}[/tex]
18031905072199287.png

Montrer que [tex]\overrightarrow{EF}=\frac 1 2\overrightarrow{BC}[/tex]

Ma démonstration

[tex]\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}[/tex]
Donc :
[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 3 2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}-\left(\frac 1 2 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right))[/tex]

[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 3 2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}-\frac 1 2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}[/tex]

[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 3 2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\frac 1 2 \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}[/tex]

[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 3 2\overrightarrow{AC}+\frac 3 2 \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}[/tex]

[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 3 2\left(\overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{BA}\right)-\overrightarrow{BC}[/tex]

[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 3 2\left(\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AC}\right)-\overrightarrow{BC}[/tex]

[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 3 2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}=\frac 1 2\overrightarrow{BC}[/tex]

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Pied de page des forums