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laurent2020

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devellopement limité

bonjour

actuellement j'etudie les devellopements limités ma question devrait etre simple
j'ai effectué plusieurs exercices sur  ce sujet
cependant j'ai un probleme de comprehension qui subsite
l'enoncé des exercices que j'ai fait étaient du genre trouver le D.L d'une expression au point 0 ou 2 a l'ordre 4 par exemple
je sais que le D.L permet d'ecrire sous  forme polynomiale des expressions dont l'etude serait plus complexe autrement
mais quand on dit par exemple trouver le D.L de l'expression en 0 à l'ordre 4
cela revient il juste à trouver une expression polynomiale valable autour de la valeur de 0
ou es ce valable pour d'autre valeurs de x?
si c'est variable pour toute valeurs de x sur le domaine de definition pourquoi d'autre exercices demande de le calculer le D.L en par exemple en 2
Si l'expression trouvée en 2 n'est valable qu'en cette valeur
ne peut on pas établir une formule polynomiale générale valable pour toute les valeurs possibles et calculer à partir de celle ci les valeurs en 0,  2 ou tout autre nombre?
merci j'ai essayé d'exprimer ce qui reste confus en moi
je remercie tout ceux qui repondront à ma question et me permettrant de clarifier ma pensée

Fred

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Re : devellopement limité

Bonjour,

  Je vais essayer de t'expliquer sur un exemple. Le développement limité en 0 de $\exp(x)$ à l'ordre 2 est
$$\exp(x)=1+x+\frac{x^2}2+o(x^2).$$
La première erreur à ne pas faire est d'oublier le reste. Il ne faut jamais écrire $\exp(x)=1+x+x^2/2$ : la fonction exponentielle n'est pas un polynôme, il y a un terme d'erreur!

L'écriture $\exp(x)=1+x+\frac{x^2}2+o(x^2)$ signifie que, quand $x$ tend vers 0, la différence $\exp(x)-\left(1+x+\frac{x^2}2\right)$ tend plus vite vers 0 que $x^2$ (qui lui-même tend déjà très vite vers 0, fait un dessin!).
Le premier terme, le terme constant, 1, est nécessairement la valeur de $\exp(x)$ en $0$. En effet, si tu veux approcher une fonction en un point par un polynôme de degré 0, c'est-à-dire par une constante, il n'y a rien de mieux que l'approximation par la valeur de la fonction en ce point.

Si on considère les deux premiers termes, $1+x$, alors on retrouve l'équation de la tangente à la fonction $\exp$ en $0$, qui est la droite $y=1+x$. En effet, la tangente est la droite qui approche le mieux une courbe en un point. Le terme suivant lui permet de définir la meilleure approximation  avec un polynôme de degré 2, etc...

La formule $\exp(x)=1+x+x^2/2+o(x^2)$ n' a un intérêt que si $x$ est petit. En effet, la seule information sur le terme d'erreur que l'on a est en zéro, on a aucune information sur ce que vaut ce $o(x^2)$ quand $x$ vaut 2. Et le développement limité de la fonction exponentielle au voisinage de deux n'est plus du tout le même. D'ailleurs, on sait qu'il commencera forcément par $\exp(2)$, la valeur de la fonction exponentielle au point $2$.

En général, on ne peut pas avoir une formule polynomiale valable pour toutes les points. Cela devient parfois possible si, au lieu de considérer des polynômes, et donc des sommes finies, on considère des séries, c'est-à-dire des sommes infinies. On arrive alors dans la théorie des séries entières, que tu auras peut-être le plaisir d'explorer un jour.

F.

laurent2020

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Re : devellopement limité

merci pour ces explications tres claires et bien détaillées