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#1 18-03-2018 19:35:48

leo0
Membre
Inscription : 18-09-2017
Messages : 266

construction de somme de 2 vecteurs

Bonsoir
Mon problème est simple : je n'arrive pas à construire la somme de vecteurs

A,B et C sont trois poins quelconques
E et F sont deux points tel que  $\overrightarrow{EF}$ = 1/2 vecteur  $\overrightarrow{AB}$ + vecteur  $\overrightarrow{BC}$
et  $\overrightarrow{AF}$ = 3/2 vecteur  $\overrightarrow{AC}$ + vect  $\overrightarrow{BA}$

1 - Montrer que vect EF = 1/ vect BC

-----------------------------------------------------------------------------------------------
construction de Vecteur EF
pour cela, je dois additionner le vecteur 1/2 $\overrightarrow{AB}$ et le vecteur $\overrightarrow{BC}$
je dois trouver qu'est ce que c'est 1/2 vecteur $\overrightarrow{AB}$ ( à quoi correspond 1/2 du vecteur $\overrightarrow{AB}$
je  prends 1/2 de la norme de ce vecteur
comme ça je peux déjà voir  la norme du vecteur en question

ensuite je dois construire un représentant de ce vecteur avec la contrainte que son origine doit être le point A
forcément le point B va être quelque part sur la demi droite [AB)
et pour représenter le point B, je prends 1/2 de la norme du vecteur avec le compas
je pique en A et je fais un arc de cercle
là, ça va me représenter le point B' (on va dire )
et ça va être un représentant du vecteur 1/2 $\overrightarrow{AB}$
ensuite
je dois construire ( avec un dessin ) un représentant du vecteur $\overrightarrow{BC}$ avec la contrainte que son origine soit le nouveau point B que j'ai obtenu en calculant 1/2 de la norme de AB
forcément le point C' va être quelque part plus loin
et lorsque je veux construire  le point C', la figure que je vais obtenir ça va être un parallélogramme

- je prends mon compas
- je prends la norme du vecteur $\overrightarrow{BC}$
- je pique en B' avec le compas et je fais un premier arc de cercle
- je prends la longueur : partant de l'origine du vecteur $\overrightarrow{BC}$ jusqu'à B'
- ensuite je pique à l'extrémité de mon vecteur $\overrightarrow{BC}$ et je vais avoir un second arc de cercle
- là ça va me représenter le point C'
- j'ai le vecteur B'C' et j'ai   bien un représentant du vecteur $\overrightarrow{BC}$
et d'après l'énoncé
le vecteur $\overrightarrow{AB'}$ plus le vecteur $\overrightarrow{B'C'}$ est égal au vecteur $\overrightarrow{AE}$
c'est à dire que le vecteur que j'ai obtenu en faisant la somme du vecteur 1/2 $\overrightarrow{AB}$ plus le vecteur $\overrightarrow{BC}$ ça va être le vecteur qui est d'origine A et d'extrémité C' c'est à dire le vecteur AE

Hors ligne

#2 19-03-2018 08:10:07

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : construction de somme de 2 vecteurs

Bonjour,

La présente réponse était prête hier soir vers 22 h : elle n'est là que ce matin parce que le soir comme ça, il m'arrive d'écrire des bêtises.
Donc ce qui suit est vérifié.
-----------------------------------------------------------------
Bonsoir,

Pffffiou, pas facile à lire...
Pour, par ex,  [tex]\frac 1 2 \overrightarrow{AB}[/tex]  un vecteur placé n'importe où sur ton dessin, pourvu
- qu'il soit parallèle à (AB)
- de même sens [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]
- que sa norme soit moitié de celle de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]
fera l'affaire...

Je te conseille de commencer par construire le point F
[tex]\overrightarrow{AF}=\frac 3 2 \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}[/tex]
Je commence par tracer la demi-droite [AC).
Sur cette demi-droite, au delà de C je place un point A' tel que AA'= \frac 3 2 Ac.
J'ai donc   [tex]\overrightarrow{AC'}=\frac 3 2 \overrightarrow{AC}[/tex]

Et maintenant je vais construire F tel que : [tex]\overrightarrow{A'F}= \overrightarrow{BA}[/tex]
Pour cela je trace la  parallèle à (AB) passant par A'.
Depuis le point A', sur cette droite je porte un point F tel que  la longueur A'F soit égale à la longueur AB et du côté de C tel que [tex]\overrightarrow{A'F}= \overrightarrow{BA}[/tex].
Le point F ainsi construit est tel que [tex]\overrightarrow{AF}=\frac 3 2 \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}[/tex]

Maintenant qu'on a le point F, on va chercher à placer E.

Pour cela, je vais construire un représenant du vecteur [tex]\frac 1 2 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}[/tex] ou encore ;
[tex]\overrightarrow{BC}+\frac 1 2 \overrightarrow{AB}[/tex], et qui a pour origine B
Je vais donc construire un point C' tel que [tex]\overrightarrow{CC'}=\frac 1 2 \overrightarrow{AB}[/tex]

Ainsi, j'aurais [tex]\overrightarrow{BC'}= \overrightarrow{BC}°\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BC}+\frac 1 2 \overrightarrow{AB}[/tex]
Et donc [tex]\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{EF}[/tex]

Donc depuis F je trace la parallèle à (BC'). Sur cette parallèle,  je place E tel que [tex]\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{BB'}[/tex]

Voilà pour la construction.

La démonstration demandée, c'est autre chose : la conclusion que tu as écrite et qui selon toi est demandée est fausse:
D'après le dessin, tu vois bien que [tex]\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{BC'}=\overrightarrow{CM}[/tex]

Démonstration
[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 1 2 \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\frac 1 2\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\overrightarrow{BC}[/tex]
Je développe :
[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 1 2\overrightarrow{AC}+\frac 1 2\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}[/tex]
Mais [tex]\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}[/tex]

Donc :
[tex]\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AC}-\frac 1 2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}[/tex]
Je réduis :
[tex]\overrightarrow{EF}=\frac 1 2\overrightarrow{AC}+\frac 1 2\overrightarrow{BC}=\frac 1 2\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)=-\frac 1 2\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)[/tex]
J'appelle M le milieu de [AB].
[tex]\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}[/tex], c'est un résultat du cours.

Alors :
[tex]\overrightarrow{EF}=-\frac 1 2\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)=-\frac 1 2\times 2\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{MC}[/tex]

Par contre,   [tex]\overrightarrow{AE}=\frac 1 2\overrightarrow{BC}[/tex] ! (en trquoise sur le dessin)

La démonstration est longue et pas évidente pour vous à trouver...
(Dessin de ce matin)
180319081510102796.png

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