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#1 18-03-2018 18:20:40

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 61

norme $L^\infty$

Bonjour
soit $f \in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. Je lis que la norme sur $L^\infty(\mathbb{R}^n)$ est noté $Sup \quad ess$. Comment est définit le $Sup ess$? Et quand est-ce qu'on pose $||f||_{L^\infty}= \sup_x |f(x)|$?
Merci par avance.

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#2 18-03-2018 18:45:10

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : norme $L^\infty$

Bonsoir,
Le sup est défini comme le plus petit majorant d'une fonction.
Quand on a une mesure, un majorant essentiel (je ne sais pas si la terminologie est correcte, en anglais, on parle de 'essential upper bound') si les points où il ne majore pas la fonction est de mesure nulle. Dans ce cas, le sup ess est le plus petit majorant essentiel d'une fonction.

Voir Wikipedia pour une définition formelle.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 18-03-2018 18:48:51

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 61

Re : norme $L^\infty$

Bonjour Yassine, merci pour la réponse.
En fait j'avais lu la définition sur wikipedia mais je n'ai pas compris et je ne comprend toujours pas, en fait $L^\infty$ est muni de quelle norme? C'est à dire à quoi est égale $||f||_{L^\infty}$?
Est-ce que j'ai raison en disant que
$$
||f||_{L^\infty}= \Supp ess |f|= \{x \in \mathbb{R^n}, |f(x)| \leq M\}?
$$

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#4 18-03-2018 20:01:15

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : norme $L^\infty$

Non, ce n'est pas ça (ta deuxième égalité égalise un nombre et un ensemble ! De plus, le nombre $M$ n'est pas défini)

D'abord, est va d'abord définir un majorant de $f: E \to \mathbb{R}$

$M$ est un majorant de $f$ si $\forall x \in E,\ f(x) \le M$

On peut encore écrire ça en disant que : $M$ est un majorant de $f$ si l'ensemble $\{ x \in E,\ f(x) > M\}$ est vide (on dit que l'ensemble où la condition n'est pas satisfaite est nul).
Cet ensemble s'écrit aussi $f^{-1}(]M,+\infty[)$ (attention, c'est juste une notation, on ne suppose pas $f$ est bijective).
Donc, $M$ est un majorant de $f$ si $f^{-1}(]M,+\infty[) = \emptyset$

On peut maintenant définir l'ensemble des majorants de $f$, qu'on notera $U_f$ (pour Upper bound), par
$U_f = \{M \in \mathbb{R},\ M \textrm{ majorant de } f\} = \{M \in \mathbb{R},\ f^{-1}(]M,+\infty[) = \emptyset\}$

Donc, le $\sup f$ est donc simplement la borne inférieure de cet ensemble lorsqu'elle existe, sinon $+\infty$.

Pour ajouter l'aspect "essentiel", on suppose maintenant qu'on dispose d'une mesure $\mu$ et on remplacera le fait que l'ensemble  $f^{-1}(]M,+\infty[)$ soit vide par le fait que sa mesure soit nulle : $\mu\left(f^{-1}(]M,+\infty[)\right)=0$
Ce qui permet de définir l'ensemble $U_f^{ess}$ par
$U_f^{ess} = \{M \in \mathbb{R},\ \mu\left(f^{-1}(]M,+\infty[)\right)=0\}$
et par suite de définir $\operatorname*{sup~ess} f = \inf U_f^{ess}$

La norme est alors définie par $\|f\|_{\infty}= \operatorname*{sup~ess} |f|$

Dernière modification par Yassine (18-03-2018 20:46:28)


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#5 18-03-2018 20:16:26

uni
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Inscription : 25-11-2017
Messages : 61

Re : norme $L^\infty$

Merci beaucoup Yassine!

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