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#1 16-03-2018 00:38:00

René MAROT
Invité

Démontrer par calcul que AB-DC=0 ou AB=CD ?

Bonjour à tous et merci de votre temps et de votre aide.

Je me remet aux vecteurs après de TRÈS nombreuses années et j'ai une question.

Soit 4 points A, B, D, C d'un plan formant un paraléllogramme quelconque.
Soit deux vecteurs AB et CD.
Je vois graphiquement AB-DC=0 ou que AB=CD mais j'aimerai y arriver par calcul.
Donc exprimer le vecteur AB en fonction du vecteur CD de manière à arriver à CD = CD.

Un truc du genre CA + AB + BD = CD (je pense que ça c'est faux, mais l'est-ce ?)

J'ai griphonné presque une page de calcul en enchaînant les additions et les inversions de sens et autres manipultions sans succès apparent.

Donc si quelqu'un peut m'expliquer étape par étape comment on passe de AB à CD je vous en serai reconnaissant.

S'il vous plait, pas de réponse du genre "c'est trivial" ou tu n'as qu'à utiliser le théorème de machin ou de truc.

Quelque chose du type :

AB=CD
...
... ici les transformations successives
...
CD=CD

A+

#2 16-03-2018 09:22:50

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : Démontrer par calcul que AB-DC=0 ou AB=CD ?

Bonjour,

Tout d'abord, attention le nom du parallélogramme que tu donnes ne colle pas avec ta question : il 'agit dans ton cas de ABDC et non ABCD...

Bon, hmmmm...
Il me semble que tu cherches à réinventer la roue.
Il y a d'abord la définition du vecteur telle que l'on me l'a donnée il y a plus de 50 berges :
c'est un segment de droite orienté...
Puis ce qu'on en dit en  Collège maintenant ;
un vecteur est lié à une translation : il a une longueur, un sens et une direction (c'est l'inclinaison : deux droites parallèles ont même direction).
Deux vecteurs sont donc égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur (plus tard, on dira "norme").
Ou encore la définition ultérieure ("passée de mode") un peu moins concrète :
On appelle vecteur, une classe d'équivalence de bipoints équipollents ; deux bipoints (A,B) et (C,D) étant dits équipollents si [AC] et [DB] ont le même milieu (on lie avec le parallélogramme) : les vecteurs (égaux) dont on parle couramment, n'étaient, avec cette définition, que des représentants d'une même classe d'équivalence, donc forcément équivalents, sinon "égaux"

Il résulte de cela que si ABCD est un parallélogramme, alors :
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\,;\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/tex]
Et réciproquement :
si ABCD est un quadrilatère tel que :[tex] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex] (ou [tex]\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}[/tex]) alors c'est un parrallélogramme.

Des définitions, on tire par exemple que [tex]\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}[/tex]
Si I est le milieu de [AB], alors on peut écrire :
[tex]\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IA}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{IB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}=\frac  1 2 \overrightarrow{AB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0[/tex]
[tex]\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec 0[/tex]

Soit O le point d'intersection des diagonales.
D'après la relation de Chasles :
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}[/tex]
Comme O est le milieu de [AC], alors [tex]\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}[/tex]
Mais O est aussi  le milieu [BD], alors [tex]\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}[/tex]
Et on remplace :
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DC}[/tex]

Application.
Considérons un triangle ABC quelconque et M et N les milieux respectifs de [AB] et [AC]...
On trace [MN] et on montre facilement que (BC)//(MN) et BC = 2MN.
[tex]\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AN}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN})=2\overrightarrow{MN}[/tex]
dont on conclut que (BC)//(MN)  et BC = 2MN.

Soit P le milieu de [BC].
[tex]\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BP}[/tex]
On a donc
[tex]2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{BP}[/tex] qui équivaut à : [tex]\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BP}[/tex]
ET comme les deux vecteurs [tex]\overrightarrow{MN}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BP}[/tex] sont égaux alors MNPB est un parallélogramme.

@+


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#3 16-03-2018 13:43:20

René MAROT
Invité

Re : Démontrer par calcul que AB-DC=0 ou AB=CD ?

Bonjour et merci de ta réponse.

Oui mes références datent un peu (mes études des vecteurs remontent aux années 70 et le livre que j'utilise aux années 90).

Ceci dit mon point n'est pas de démontrer que j'ai un parallélogramme puisque cela fait partie des hypothèses.

Ma question est fondamentalement : peut-on démontrer en utilisant des calculs sur les vecteurs que 2 vecteurs sont égaux (même longueur, même direction et même sens) de la même manière que si j'écris x=a+b et y=a+b je peux par substitution avoir x=y. (Ça c'est de l'algèbre classique, pas des vecteurs).

Je vais relire à tête reposée ton exposé mais je n'ai en première lecture vu la réponse à ma question.

A+

#4 16-03-2018 13:54:29

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : Démontrer par calcul que AB-DC=0 ou AB=CD ?

Bonjour,

Ma question est fondamentalement : peut-on démontrer en utilisant des calculs sur les vecteurs que 2 vecteurs sont égaux (même longueur, même direction et même sens) de la même manière que si j'écris x=a+b et y=a+b je peux par substitution avoir x=y. (Ça c'est de l'algèbre classique, pas des vecteurs).

Ce qui suit n'a donc pas répondu à ta question ?

Yoshi a écrit :

Des définitions, on tire par exemple que [tex]\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}[/tex]
Si I est le milieu de [AB], alors on peut écrire :
[tex]\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IA}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{IB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}=\frac  1 2 \overrightarrow{AB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec 0[/tex]
[tex]\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec 0[/tex]

Soit O le point d'intersection des diagonales.
D'après la relation de Chasles :
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}[/tex]
Comme O est le milieu de [AC], alors [tex]\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}[/tex]
Mais O est aussi  le milieu [BD], alors [tex]\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}[/tex]
Et on remplace :
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DC}[/tex]

Tu veux le faire en utilisant des coordonnées ?
Pourtant à te lire, il m'avait semblé que tu t'étais débattu avec la relation de Chasles  dans un parallélogramme ?

Si oui à ma deuxième question, alors voici un exemple de calcul (c'est assez trivial).
Soient les points [tex]A(1\,;\,3),\;B(3\,;\,4),\;C(1\,;\,-1),\;D(-1\,;\,-2)[/tex]
Les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] sont :
[tex]\overrightarrow{AB}(3-1\,;\,4-3)[/tex], soit [tex]\overrightarrow{AB}(2\,;\,1)[/tex]

Les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{DC}[/tex] sont :
[tex]\overrightarrow{DC}(1-(-1)\,;\,-1-(-2))[/tex], soit [tex]\overrightarrow{AB}(2\,;\,1)[/tex]
Ces deux vecteurs ayant les mêmes coordonnées représentent le même déplacement  2 unités dans le sens positif pour les abscisses, 1 unité dans le positif pour les ordonnées : d'autres calculs (lesquels d'ailleurs ?) seraient totalement inutile pour conclure que  les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{DC}[/tex] sont parallèles, de même sens et ont la même longueur...
Et on en conclut que ABCD est un parallélogramme...

Autre approche.
Je montre que ABCD est un parallélogramme par le calcul (sans vecteurs).
Coordonnées du milieu M de [AC] :  [tex]M\left(\frac{1+1}{2}\,;\,\frac{3+(-1)}{2}\right)[/tex] soit [tex]M\left(1\,;\;1\right)[/tex]

Coordonnées du milieu N de [BD] :  [tex]N\left(\frac{3+(-1)}{2}\,;\,\frac{4+(-2)}{2}\right)[/tex] soit [tex]N\left(1\,;\;\,1\right)[/tex]
Les points M et N ayant les même coordonnées, ils sont confondus. M = N.
Le quadrilatère ABCD dont les diagonales ont le même milieu est donc un parallélogramme et il suffit de dire : donc [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
Si on ne veut pas utiliser ce lien direct entre parallélogramme et vecteurs, on peut contourner...
Et dire :
ABCD étant un parallélogramme, ses côtés opposés ont même longueur et sont parallèles  : AB = DC et (AB) // (DC).
Reste le sens...
ABCD (et non pas ici ABCD) étant un parallélogramme, il n'est pas un quadrilatère croisé donc A et D sont les origines, B et C les extrémités, et [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]  et  [tex]\overrightarrow{DC}[/tex] sont donc de même sens.

Exemple de quadrilatère croisé ABCD :
180316025442718115.jpg
Ici pour nommer le parallélogramme, il faudrait écrire : ABDC

@+


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#5 16-03-2018 21:59:08

René MAROT
Invité

Re : Démontrer par calcul que AB-DC=0 ou AB=CD ?

Désolé j'ai lu un peu vite ce matin et j'avais raté le calcul avec le point O.

C'est ce que je cherchais.

Je précise qu c'est d'un parallélogramme ordinaire (ABDC) ce qui expliqe ma relation initale AB=CD.

J'avais oublié qu'il en existait des croisés.

Merci à vous deux.

A+

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