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#1 08-03-2018 09:50:36

Mouhamed Cisse
Invité

Barycentre

Bonjour,  j'ai un petit soucis concernant un exercice, le voila:

Abc un triangle isocèle en a tel que BC=2a, ac=ab=3a
Soit g=bar(A,2)(B, 3)(C, 3). I le milieu de [BC] et J mileu de [AI]
1- MONTRER QUE G EST LE MILIEU DE [IJ]
2-DETERMINER
a-l'ensemble (E) des points M du plan tel que 2ma²+3mb²+3mc²=18a²
b-l'ensemble (E) des points M du plan tel que 2ma²+3mb²+3mc²=22a²

S'il vous plaît je compte sur votre aide
Merci

#2 08-03-2018 11:17:54

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 934

Re : Barycentre

Bonjour,

Sur BibMath, c'est Aide-nous et Bibmath t'aidera...
Donc, toi qu'as-tu déjà fait ?
Au moins la première question, parce que c'est du cours...

@+


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#3 21-03-2018 11:50:23

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 934

Re : Barycentre

Bonjour,

Et bien, soit notre ami a dû se prendre par la main, soit ce n'était pas si important que ça et, vexé, il a décidé de ne pas donner suite..
Je vais faire le boulot pour les lecteurs futurs éventuels...

Question 1
[tex]G=Bar\{(A,2),(B,3),(C,3)\}=Bar\{(A,2),(I,6)\}=Bar\{(A,1),(I,3\}[/tex]
Donc [tex]\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GI}=\vec 0[/tex]
On montre facilement que [tex]\overrightarrow{GI}=\frac 1 4 \overrightarrow{AI}[/tex]

Or, J milieu de [AI], donc [tex]\overrightarrow{JI}=\frac 1 2 \overrightarrow{AI}[/tex]
Et enfin  [tex]\overrightarrow{GI}=\frac 1 2 \overrightarrow{JI}[/tex]
G est le milieu de [IJ].

Question 2
BC = 2a, donc IB = IC =a
D'où [AI] médiane relative à la base [BC] du triangle isocèle ABC est aussi hauteur.
Je peux donc utiliser le théorème de Pythagore pour calculer AI
[tex]AI^2=AB^2-IB^2= 9a^2-a^2=8a^2[/tex]... ([tex]AI=2a\sqrt 2[/tex])
et
[tex]GI^2=\frac{1}{16}AI^2=\frac{a^2}{2}[/tex]  ([tex]GI=\frac{a\sqrt 2}{2}[/tex])
[tex]\overrightarrow{GA}=\frac 3 4\overrightarrow{IA}[/tex] d'où [tex] GA =\frac 3 4 IA[/tex]
et
[tex]GA^2=\frac{9}{16} IA^2 =\frac{9}{16}\times 8a^2 =\frac{9a^2}{2}[/tex] (1)
GIB et GIC sont des triangles rectangles en I égaux.
[tex]GC^2 = GB^2= GI^2+IB^2 = \frac{a^2}{2}+a^2=\frac{3a^2}{2}[/tex] (2)

Et le plus rigolo commence..
a)
[tex] 2MA^2+3MB²+3MC^2=18a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})^2+3(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})^2+3(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})^2=18a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2MG^2+2GA^2+4\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+3MG^2+3GB^2+6\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+3MG^2+3GC^2+6\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}=18a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]8MG^2+2GA^2+3GB^2++3GC^2+2\overrightarrow{MG}(2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC})=18a^2[/tex]
Or,
[tex]G=Bar\{(A,2),(B,3),(C,3)\}[/tex]
donc
[tex]2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=\vec 0[/tex]
D'où
[tex]8MG^2+2GA^2+3GB^2+3GC^2)=18a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]GA^2 =\frac{9a^2}{2}[/tex] (1)
[tex]GB^2=GC^2=\frac{3a^2}{2}[/tex]  (2)
[tex]8MG^2+9a^2+3GB^2+3GC^2=18a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]8MG^2+9a^2+6GB^2=18a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]8MG^2+9a^2+6\times\frac{3a^2}{2}=18a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]8MG^2+9a^2+9a^2=18a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]8MG^2+18a^2=18a^2[/tex]
On en conclut que MG=0
Donc l'ensemble des points M est le singleton [tex]\{G\}[/tex]

b)
[tex] 2MA^2+3MB²+3MC^2=22a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]8MG^2+18a^2=22a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]8MG^2=4a^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]MG^2=\frac{a^2}{2}[/tex]
et
[tex]MG=\frac{a\sqrt 2}{2}[/tex]
Or il a été montré que
[tex]GI=\frac{a\sqrt 2}{2}[/tex]
L'ensemble des points M cherché est donc tel que MG = GI, c'est le cercle de centre G et de rayon GI (I étant le milieu de [BC])

@+


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#4 22-03-2018 21:42:24

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 934

Re : Barycentre

Re,

N-B Ci-dessous une curiosité (était-elle attendue par l'auteur de de l'exercice ?) et sa démonstration...
Les calculs sont longs, mais on montre que ce cercle n'est autre que le cercle inscrit dans le triangle ABC.
Je vais faire ça "à l'ancienne"...
Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée de G sur (AB).
Je choisis un repère orthonormé de centre G avec l'axe des ordonnées porté par (GA) et l'axe des abscisses parallèle à (BC).
L'équation de la droite (AB) a pour ordonnée à l'origine, l'ordonnée de A soit [tex]\dfrac {3a\sqrt 2}{2}[/tex]
Calcul du coefficient directeur : [tex]m=\dfrac{\dfrac {3a\sqrt 2}{2}+\dfrac {a\sqrt 2}{2}}{a}=2\sqrt 2[/tex]
L'équation cherchée est donc [tex]y=2\sqrt 2\, x +\dfrac {3a\sqrt 2}{2}[/tex]

Equation de (GH) : le coefficient directeur m' est tel que mm' =- 1, d'où [tex]m'=-\dfrac{\sqrt 2}{4}[/tex] et l'équation :
[tex]y =-\dfrac{\sqrt 2}{4}x[/tex]
Cordonnées de H :
[tex]2\sqrt 2\, x +\dfrac {3a\sqrt 2}{2}=-\dfrac{\sqrt 2}{4}x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2\sqrt 2\, x +\dfrac{\sqrt 2}{4}x=-\dfrac {3a\sqrt 2}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\dfrac {9\sqrt 2}{4}\, x =-\dfrac {3a\sqrt 2}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\dfrac {9}{4}\, x =-\dfrac {6a}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]9x =-6a[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]x=-\dfrac 2 3 a[/tex]
ordonnée de H :
[tex]y=-\dfrac{\sqrt 2}{4}\times -\dfrac 2 3[/tex] a
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]y=\dfrac{\sqrt 2}{6}a[/tex]
Longueur GH
[tex]GH=\sqrt{\left(-\dfrac 2 3 a\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 2}{6}a\right)^2}=\sqrt{\dfrac 4 9 a^2+ \dfrac{1}{18}a^2}=\sqrt{\dfrac{9}{18}a^2} = \dfrac{a\sqrt 2}{2} [/tex]
qui est le rayon du cercle.
d(G,(AB))=d(G,(BC))
G est sur la bissectrice de [tex]\widehat{ABC}[/tex]
mais aussi sur la bissectrice de [tex]\widehat{BAC}[/tex]
G est bien  le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.

@+


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