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#1 25-02-2018 16:45:12

mona123
Invité

Isomorphisme

Soit [tex]q[/tex] un nombre premier . On considère [tex]B_q=\left\{a\in \mathbb Q\mid q^na\in \mathbb Z \text{ for some } n\ge 0\right\}[/tex].

On pose [tex]M_q=B_q/\mathbb Z[/tex] un groupe abélien.

Soit [tex]A[/tex] un abelien [tex]q[/tex]-groupe. On note [tex]f(A)= \bigcap\limits_{n\,\ge\,1} q^{n-1} A[q^n][/tex] où [tex]A[m]=\left\{q\in A\mid ma=0\right\}[/tex].

Je veux montrer que  [tex]\frac{\operatorname{Hom}(M_q,A)}{q\operatorname{Hom}(M_q,A)}\cong f(A)[/tex]

en utilisant l'application [tex]g+q\operatorname{Hom}(M_q,A)\mapsto g(\frac{1}{q}+\mathbb Z)[/tex]

Merci de m'aider

#2 26-02-2018 13:27:40

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

au moins pouvez vous m'aider à montrer que [tex]f(A)[/tex] est inclue dans l'image de l'application donnée?

Merci

#3 26-02-2018 14:20:34

Yassine
Membre
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Messages : 1 090

Re : Isomorphisme

Bonjour,
Pour montrer ce que tu veux, il faut montrer que $g(\frac{1}{q}+\mathbb{Z}) \in q^{n-1}A[q^n]$ pour tout $n \ge 1$.

Il faut d'abord remarquer que comme $g$ est un morphisme de groupe, $q^n g(\frac{1}{q^n}) = g(1)=0$, et donc $g(\frac{1}{q^n}) \in A[q^n]$ pour tout $n \ge 1$.
Ensuite $g(\frac{1}{q})=  q^{n-1} g(\frac{1}{q^n})$ et donc $g(\frac{1}{q}) \in q^{n-1}A[q^n]$
Par ailleurs, $g(\frac{1}{q}+\mathbb{Z})=g(\frac{1}{q})$ (on a qutionté par $\mathbb{Z}$ pour définir $M_q$)
Et donc $g(\frac{1}{q}+\mathbb{Z}) \in q^{n-1}A[q^n]$ pour tout $n \ge 1$,  Soit encore $g(\frac{1}{q}+\mathbb{Z}) \in f(A)$.


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#4 26-02-2018 14:24:47

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

@yassine ce n'est pas l'inclusion que je veux montrer: je veux montrer que [tex]f(A)[/tex] est inclu dans l'image: c'est à dire étant donné un élément [tex]m\in f(A)[/tex], on peut trouver [tex]g\in Hom(M_q,A)[/tex] tel que [tex]m=g(\frac1q+\mathbb Z)[/tex]

#5 26-02-2018 15:12:54

Yassine
Membre
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Re : Isomorphisme

Ok, je n'avais pas bien lu ta demande.

Dans ce cas, il faut construire explicitement le morphisme $g$.
Les éléments de $M_q$ sont de la forme $\frac{k}{q^n} + \mathbb{Z}$.
Donc, sin on connaît $g(\frac{1}{q^n})$ pour tout $n \ge 1$, alors on connaît entièrement $g$ (on impose que $g(x+\mathbb{Z})=g(x)$)

Soit donc $\alpha \in f(A)$ et soit $n \ge 1$.
Comme $\alpha \in q^{n-1} A[q^n]$, il existe $\beta_n \in A[q^n]$ tel que $\alpha = q^{n-1}\beta_n$.
On pose alors $g(\frac{1}{q^n})=\beta_n$.

Il est alors aisé de montrer que $g \in Hom(M_q,A)$ et vérifie $g(\frac{1}{q})=\alpha$


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#6 26-02-2018 15:17:28

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

J'ai révisé ce que j'ai écrit, je n'arrive pas à montrer que l'application donnée est un morphisme. Pouvez vous m'aider?

#7 26-02-2018 15:58:42

Yassine
Membre
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Re : Isomorphisme

Ce n'est pas si aisé à montrer comme je l'ai dit.
Je regarderai ce soir.


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#8 26-02-2018 16:06:10

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

je parle de l'application de départ ( dans l’énoncer du problème)

#9 27-02-2018 07:39:50

Yassine
Membre
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Re : Isomorphisme

Bonjour,
Tu parles bien de l'application $\rho : \frac{\operatorname{Hom}(M_q,A)}{q\operatorname{Hom}(M_q,A)} \to f(A)$ définie par
$\rho(g + q\operatorname{Hom}(M_q,A)) = g(\frac{1}{q} + \mathbb{Z})$ ?
Si c'est le cas, il y a trois points à montrer :
1- Que c'est une application (bien définie et envoie bien sur $f(A)$)
2- Qu'elle envoie l'unité sur l'unité
3- Qu'elle respecte l'addition

Lequel de ces 3 points te pose problème ?


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#10 27-02-2018 09:28:28

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire le point 1 et 3

[tex]\rho[/tex] ne part pas du quotient

Dernière modification par yoshi (27-02-2018 09:33:09)

#11 27-02-2018 09:56:25

Yassine
Membre
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Re : Isomorphisme

Pour le point 1, je l'ai montré dans mon premier post $g(\frac{1}{q} + \mathbb{Z}) \in f(A)$.
Pour le point 3, sauf mauvaise interprétation de ma part de la structure de groupe, il n'y a pas de difficulté : l'addition sur $\operatorname{Hom}(M_q,A)$ est définie point par point. Pour $g,h \in \operatorname{Hom}(M_q,A)$, le morphisme $g+h$ est défini par  $(g + h): M_q \to A$ tel que $(g+h)(m) = g(m) + h(m)$.
Donc $\rho(g+h)=(g+h)(\frac{1}{q} + \mathbb{Z}) = g(\frac{1}{q} + \mathbb{Z})+h(\frac{1}{q} + \mathbb{Z})=\rho(g)+\rho(h)$.

Sauf incompréhension de ma part, la notation $g + q\operatorname{Hom}(M_q,A)$ indique bien qu'on parle d'éléments dans le quotient (comme $k + n\mathbb{Z}$ pour désigner un élément de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$.
Ce point n'est cependant pas très important.
Soit on défini un morphisme $\rho$ de $\operatorname{Hom}(M_q,A) \to f(A)$ et on utilise le premier théorème d'isomorphisme pour conclure que $\operatorname{Hom}(M_q,A)/\operatorname{Ker}(\rho) \cong \rho(\operatorname{Hom}(M_q,A))$, soit on défini directement un isomorphisme de $\operatorname{Hom}(M_q,A)/q\operatorname{Hom}(M_q,A) \to f(A)$


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#12 27-02-2018 10:15:02

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

J'ai une dernière question: je veux montrer le problème suivant

Si on suppose de plus que  [tex]A[/tex] est un groupe artinian abélien alors  il existe un ensemble fini [tex]P[/tex] de nombre premiers  et  pour tout  [tex]p\in P[/tex] un nombre naturel   [tex]n_p[/tex] et un un  [tex]p[/tex]-groupe fini [tex]B_p[/tex] tel que pour tout [tex]p\in P[/tex] ou bien [tex]n_p\ge 1[/tex] ou [tex]B_p\neq \left\{0\right\}[/tex] et A\cong \oplus_{p\in P}(M_p^{p_{n}}\oplus B_p)

astuce: Si [tex]g:M_p\to A[/tex] est un élément non nul de [tex]f(A)[/tex] alors [tex]g[/tex] est injective

If [tex]A[/tex] is Artinian abelian group then there is a finite set [tex]P[/tex] of prime numbers and for each [tex]p\in P[/tex] a natural number  [tex]n_p[/tex] and a finite abelian [tex]p[/tex]-groups [tex]B_p[/tex] such that for each [tex]p\in P[/tex] either [tex]n_p\ge 1[/tex] or [tex]B_p\neq \left\{0\right\}[/tex] and A\cong \oplus_{p\in P}(M_p^{p_{n}}\oplus B_p)

astuce: if [tex]g:M_p\to A[/tex] is a non nul [tex]f(A)[/tex] then [tex]g[/tex] is injective

#13 27-02-2018 10:16:12

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

mona123 a écrit :

J'ai une dernière question: je veux montrer le problème suivant

Si on suppose de plus que  [tex]A[/tex] est un groupe artinian abélien alors  il existe un ensemble fini [tex]P[/tex] de nombre premiers  et  pour tout  [tex]p\in P[/tex] un nombre naturel   [tex]n_p[/tex] et un un  [tex]p[/tex]-groupe fini [tex]B_p[/tex] tel que pour tout [tex]p\in P[/tex] ou bien [tex]n_p\ge 1[/tex] ou [tex]B_p\neq \left\{0\right\}[/tex] et [tex]A\cong \oplus_{p\in P}(M_p^{p_{n}}\oplus B_p)
[/tex]
astuce: Si [tex]g:M_p\to A[/tex] est un élément non nul de [tex]f(A)[/tex] alors [tex]g[/tex] est injective

If [tex]A[/tex] is Artinian abelian group then there is a finite set [tex]P[/tex] of prime numbers and for each [tex]p\in P[/tex] a natural number  [tex]n_p[/tex] and a finite abelian [tex]p[/tex]-groups [tex]B_p[/tex] such that for each [tex]p\in P[/tex] either [tex]n_p\ge 1[/tex] or [tex]B_p\neq \left\{0\right\}[/tex] and [tex]A\cong \oplus_{p\in P}(M_p^{p_{n}}\oplus B_p)[/tex]

astuce: if [tex]g:M_p\to A[/tex] is a non nul [tex]f(A)[/tex] then [tex]g[/tex] is injective

#14 27-02-2018 10:44:47

Yassine
Membre
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Re : Isomorphisme

Je suis tombé sur cette discussion
Est-ce le même sujet ?


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#15 27-02-2018 11:16:14

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

non ce n'ai pas le même

#16 27-02-2018 13:25:20

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Isomorphisme

Deux choses :
1- il faut d'abord terminer un sujet avant de passer à l'autre
2- Il faudrait que tu postes l'ensemble du sujet, et non des bouts, pour pouvoir voir la logique du sujet. Tu notes $M_p^{p_{n}}$ alors que j'imagine qu'il s'agit de $M_p^{n_{p}}$. Tu dis : "if $g: M_p \to A$ is a non nul $f(A)$ ..." je ne vois pas trop ce que ça veut dire. Tu le traduis par "$g: M_p \to A$ est un élément non nul de $f(A)$". Or, $g$ est un morphisme et $f(A)$ un sous groupe de $A$, est-ce que ça veut dire que $g$ a été identifié à sa classe dans $\operatorname{Hom}(M_q,A)/q\operatorname{Hom}(M_q,A)$, qui a ensuite été identifiée, via l'isomorphisme de la première question, à un élément de $f(A)$ ?


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#17 27-02-2018 13:31:18

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

oui c'est relier au premier sujet

#18 27-02-2018 13:36:48

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Isomorphisme

Est-ce que tu as un lien vers un document donnant l'ensemble du sujet ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#19 27-02-2018 15:35:43

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

voila le problème 



[img=question]Screenshot_12[/img]

avec p c'est q et [tex]\psi[/tex] c'et [tex]g[/tex]  et [tex]\phi_1(A)[/tex] est [tex] f(A)[/tex]

#20 27-02-2018 15:38:05

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

je n'arrive pas à ajouter l'image

#21 27-02-2018 15:46:35

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Isomorphisme

Il y a un post qui explique comment ajouter des images sur le forum


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#22 27-02-2018 15:48:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 604

Re : Isomorphisme

Re,

Tu devrais déposer ton image sur http://www.cjoint.com puis donner le code que tu vas obtenir.
Je constate :
1. Que tu n'as même pas prévisualisé ton message avant de cliquer sur Valider.
2. Tu as fait une copie d'écran et que tu as cru pouvoir la coller entre les balises images. Bin non, ça ne marche pas comme ça : ton image, elle est dans le presse-papiers de ton OS (Windows). Tu connais des sites où ça marche ? lesquels ? Parce que moi je n'en connais pas...
3. Tu ne sais pas que tu dois commencer par coller ton image dans un logiciel genre Paint ou Phofiltre, puis  tu l'enregistrer au format .jpg ou .png sinon tu ne pourras pas déposer ton image quel que soit l'hébergeur...

Autre solution : tu recopies ton texte...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#23 27-02-2018 15:53:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 604

Re : Isomorphisme

Re,

Tu devrais déposer ton image sur http://www.cjoint.com puis donner le code que tu vas obtenir.
Je constate :
1. Que tu n'avais même pas prévisualisé ton message avant de cliquer sur Valider.
2. Tu as fait une copie d'écran et que tu as cru pouvoir la coller entre les balises images. Bin non, ça ne marche pas comme ça : ton image, elle est dans le presse-papiers de ton OS (Windows). Tu connais des sites où ça marche ? lesquels ? Parce que moi je n'en connais pas...
3. Tu ne sais pas que tu dois commencer par coller ton image dans un logiciel genre Paint ou Phofiltre, puis  tu l'enregistrer au format .jpg ou .png sinon tu ne pourras pas déposer ton image quel que soit l'hébergeur...

Pour aller dans le sens de Yassine : tu peux aussi regarder ici au post#14 : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=8038

Autre solution : tu recopies ton texte...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#24 27-02-2018 16:12:27

mona123
Invité

Re : Isomorphisme

J'espère que ça marcheproblème

#25 27-02-2018 16:13:41

mona123
Invité

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