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#1 22-02-2018 19:13:03

Hibou80
Invité

Théorème des facteurs invariants

Bonsoir,

Sur le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … invariants , vers la fin de la page, paragraphe : Application aux invariants de similitude, je ne comprends pas pourquoi dans la décomposition : [tex]E \simeq K[X] / (P_1) \oplus \dots \oplus K[X]/(P_t)[/tex], on ne trouve pas de partie [tex]K[X][/tex] - libre, malgré l'explication de wiki qui précise que c'est parce que : [tex]E[/tex] est un espace vectoriel de [tex]K[/tex] -dimension finie. Pouvez m'expliquer pourquoi svp ? [tex]E[/tex] est de dimension finie, et après ?!

Merci d'avance.

#2 22-02-2018 22:01:06

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 988

Re : Théorème des facteurs invariants

Bonjour,

  Si tu avais une partie $K[X]$ libre, alors ton espace vectoriel $E$ contiendrait un sous-espace isomorphe à $K[X]^r$ pour un certain $r\geq 1$, qui est de dimension infinie.

F.

Hors ligne

#3 22-02-2018 22:44:02

Hibou80
Invité

Re : Théorème des facteurs invariants

Merci beaucoup.  :-)

Ici, http://www.logique.jussieu.fr/~alp/Cayley_Hamilton.pdf , on trouve la démonstration du théorème de Cayley Hamilton qui affirme la chose suivante :
Théorème :
Soit [tex]E[/tex] un espace vectoriel de dimension fini sur un corps [tex]K[/tex].
Soit [tex]f : E \to E[/tex] une endomorphisme linéaire de [tex]E[/tex].
Soit [tex]P_f ( \lambda ) = \det (f - \lambda \mathrm{id} )[/tex] le polynôme caractéristique de [tex]f[/tex].
Alors l'endomorphisme [tex]P_f(f)[/tex] est nul. ( i.e : [tex]Pi_f (f) = 0[/tex] ).

Ma question :
La démonstration de ce théorème qui se trouve sur le pdf çi dessus compte plus de deux pages, alors à mon avis, pour démontrer ce théorème de Cayley Hamilton, pourquoi ne pas dire simplement que : puisque : [tex]P_f ( \lambda ) = \det (f - \lambda \mathrm{id} )[/tex], alors : [tex]P_f ( f ) = \det (f - f \circ \mathrm{id} ) = \det (0_{ \mathcal{M}_n ( \mathbb{K} ) } ) = 0 [/tex] au lieu de rallonger la démonstration à plus de deux pages ? Non ? Ou se trouve l'erreur dans ce que je dis ?

Merci pour votre éclairage.

#4 25-02-2018 09:53:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 988

Re : Théorème des facteurs invariants

Bonjour,

  Il y a un point qui devrait te montrer que ce que tu dis n'a aucune chance d'être vrai.
Quand tu calcules $P_f(f)$, tu as affaire à un endomorphisme de $E$. Ainsi, $P_f(f)$ est une fonction de $E$ dans $E$, et le théorème de Cayley-Hamilton te dit que $P_f(f)$ est l'application nulle.
D'autre part, quand tu calcules $\det(f-f\circ \textrm{id})$, tu calcules un réel, et c'est le réel nul.
Ainsi, même si $P_f(f)$ et $\det(f-f\circ \textrm{id})$ représentent tous deux zéro, ce n'est pas le même zéro. D'un côté, tu as l'application qui envoie tout $x$ de $E$ sur $0$, de l'autre le réel zéro.

F.

Hors ligne

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