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#1 21-02-2018 19:55:14

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 61

espace dual.

Bonjour,
dans mon cours, on a défini l'espace $H^{-m}$ de la manière suivante;
soit $m \in \mathbb{N}$. $u \in H^{-m}(\mathbb{R}^n)$ ssi 1. $u \in \mathcal{D}'$ et 2. $\exists C \geq 0, \forall \varphi \in \mathcal{D}: |<u,\varphi>_{D',D}| \leq C ||\varphi||_{H^m}$.
Avec la remarque que les éléments de $H^{-m}$ sont les distributions continues pour la topologie $H^m$.
Ensuite, on dit que cette définition nous permet de faire le théorème de prolongement de dualité qui dit ceci:
a. pour tout $u\in H^{-m}$, l'application
\begin{align*}
u: \mathcal{D} &\to \mathbb{C}\\
\varphi &\to <u,\varphi>_{D',D}
\end{align*}
se prolonge de manière unique en l'application linéaire et continue
\begin{align*}
u: H^m(\mathbb{R}^n) &\to \mathbb{C}\\
v &\to <u,v>_{H^{-m},H^m}
\end{align*}
b. ce prolongement nous permet d'identifier l'espace dual $(H^m)'$ à $H^{-m}$, c'est à dire que $\forall L \in (H^m)', \exists ! u \in H^{-m}, \forall v \in H^m, L(v)= <u,v>_{H^{-m},H^m}$.
avec la remarque que cette identification n'est pas due au théorème de représentation de Riesz, mais à l'indentité canonique.

J'ai deux question:
1. je ne comprend comment on définit le prolongement dans a: l'application s'appelle u et on utilise u aussi pour définir son image?! Je ne comprend pas.
2. pourquoi faire remarque que l'identité n'est pas due à Riesz mais à l'identité canonique? Pourtant $H^m$ est un espace de Hilbert et donc Riesz nous donne cette identité sans problème. Pourquoi utiliser l'identité canonique?

Merci par avance pour l'aide.

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