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gigot00

Invité

Théorie des groupes

Bonsoir,

Dans l'article suivant de wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … s_de_Sylow , paragraphe : exemples, applications, je ne comprends pas la chose suivante :
Il est écrit :
Soit [tex]G[/tex] un groupe d'ordre [tex]15 = 3 · 5[/tex]. Nous devons avoir [tex]n_3[/tex] divise [tex]5[/tex], et [tex]n_3 \cong 1 \ \mathrm{mod} \ 3[/tex]. La seule valeur satisfaisant ces contraintes est [tex]1[/tex] ; ainsi, il y a un seul sous-groupe d'ordre [tex]3[/tex], et il doit être normal (puisqu'il n'a pas de conjugués distincts). De façon analogue, [tex]n_5[/tex] divise [tex]3[/tex], et [tex]n_5 \cong 1 \ \mathrm{mod} \ 5[/tex] ; il a donc aussi un seul sous-groupe normal d'ordre [tex]5[/tex]. Puisque [tex]3[/tex] et [tex]5[/tex] sont premiers entre eux, l'intersection de ces deux sous-groupes est triviale, et donc [tex]G[/tex] est nécessairement un groupe cyclique. Ainsi, il existe un seul groupe d'ordre [tex]15[/tex] (à un isomorphisme près) : le groupe [tex] \mathbb{Z} /15 \mathbb{Z} [/tex].

Pourquoi svp : [tex]G[/tex] est nécessairement un groupe cyclique si l'intersection de ces deux sous-groupes est triviale ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Théorie des groupes

Bonjour

  Je n'aurais pas écrit cela comme ça mais disons que dans G tu as un élément u d'ordre 3 et un élément v d'ordre 5. Le produit uv est d'ordre ppcm(3,5)=15.

F.

gigot00

Invité

Re : Théorie des groupes

Oui, je ne comprends toujours pas bien. Qu'est ce qu'll faut montrer rigoureusement j'espère, pour dire finalement que [tex]G[/tex] est cyclique ?

Fred

Administrateur

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Re : Théorie des groupes

Un groupe fini est cyclique si et seulement s'il admet un élément dont l'ordre est égal au cardinal du groupe.

gigot00

Invité

Re : Théorie des groupes

Ah oui, c'est vrai. Merci beaucoup Fred. :-)

gigot00

Invité

Re : Théorie des groupes

Bonsoir à tous,
existe-t-il des méthodes algébriques pour mesurer l'obstruction qu'un groupe devient résoluble ?
Merci d'avance.