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kim112

Invité

independance d'une famille d'evenements

Salut, j'ai besoin de votre aide, s'il vous plait, pour resoudre cette question:

Prouver qu'une famille $(X_i)_{i \in I}$ d'evenements est independante si et seulement si pour toute partie finie J de I, on a :

$$\mathbb{P}(\bigcap_{j \in J}{B_j} )=\prod_{j \in J}{\mathbb{P}(B_j)}$$

des que $B_j$ est l'un des evenements $X_j \ ou \ X_j^{c}$ pour tout $i \in J$.

j'ai essayé de prouver le sens direct de la façon suivante:

On suppose que $(X_i)_{i \in I}$ est une famille d'evenements independante, et soit K une partie finie de I, et soit $W=\left\{j \in K;B_j=X_j \right\}$ on a :
$$\mathbb{P}(\bigcap_{j \in K}{B_j} )=\mathbb{P}(\bigcap_{j\in W}X_j \cap \bigcap_{i \in W^c}X_i^c)= \mathbb{P}(\bigcap_{j\in W}X_j )-\mathbb{P}(\bigcup_{i \in W^c}\bigcap_{j\in W}X_i \cap X_j)= $$

maintenant je vais utiliser la formule de crible pour obtenir :

$$\mathbb{P}(\bigcap_{j \in K}{B_j} )= \mathbb{P}(\bigcap_{j\in W}X_j )-\sum_{H \in P(W^c)-\left\{\emptyset \right\}}(-1)^{card(H)-1} \ \mathbb{P}(\bigcap_{j\in W}X_j \cap \bigcap_{i\in H}X_i)= $$

or les evenements $X_j$ sont independants alors,

$$\mathbb{P}(\bigcap_{j \in K}{B_j} )= \prod_{j\in W}\mathbb{P}(X_j )(1-\sum_{H \in P(W^c)-\left\{\emptyset \right\}}(-1)^{card(H)-1} \ \prod_{i\in H}\mathbb{P}(X_i))$$

qui est aussi equivalente a :

$$\mathbb{P}(\bigcap_{j \in K}{B_j} )= \prod_{j\in W}\mathbb{P}(X_j )\mathbb{P}(\bigcap_{j \in W^c}X_i^c)$$

car d'apres la formule de crible :

$$\mathbb{P}(\bigcap_{j \in W^c}X_i^c)=1-\sum_{H \in P(W^c)-\left\{\emptyset \right\}}(-1)^{card(H)-1} \ \prod_{i\in H}\mathbb{P}(X_i)$$

et là j'ai bloqué, comment verifier que $(X_j^c)$ sont independants, cad comment verifier que :

$$\mathbb{P}(\bigcap_{j \in W^c}X_i^c)=\prod_{j \in W^c}\mathbb{P}(X_j^c)=1-\sum_{H \in P(W^c)-\left\{\emptyset \right\}}(-1)^{card(H)-1} \ \prod_{i\in H}\mathbb{P}(X_i)$$

et, existe-t-il une autre methode pour resoudre cette question?

Merci d'avance

Fred

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Re : independance d'une famille d'evenements

Bonjour,

  Oui, je pense qu'il y a plus facile. A première vue, je raisonnerai par récurrence sur le nombre d'événements du type $X_j^c$ dans ta famille $J$ (pour copier le passage de $A,B$ indépendants à $A,B^c$ indépendants).

F.

kim112

Invité

Re : independance d'une famille d'evenements

je pense qu'on peut verifier que si on a une famille finie d'evemenements independants $(X_1,...,X_n)$ on peut verifier par recurrence simple que $(X_1^c,...,X_n^c)$ est une famille d'evenements independants en utilisant le fait que $\mathbb{P}(A^c \cap B^c)=\mathbb{P}(A^c)\mathbb{P}(B^c)$ pour deux evenements independants A et B, ce qui permet de verifier que $\mathbb{P}(\bigcap_{j \in W^c}X_j^c)=\prod_{j \in W^c} \mathbb{P}(X_j^c)$

Fred

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Re : independance d'une famille d'evenements

Oui, c'est à peu près ce que je te suggérais. Tout dépend de là où on part!

kim112

Invité

Re : independance d'une famille d'evenements

ce que j'ai comprit qu'on peut, par recurrence sur le nombre des evenements $X_j^c$ on peur prouver l'enonce, que voulez-vous dire par ça?
(prendre n=nb des $X_j^c$ car on traivaille sur des parties finies

Fred

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Re : independance d'une famille d'evenements

Ce que je veux dire, c'est que si les événements $(X_1,\dots,X_n)$ sont indépendants, alors par récurrence sur $p$, tu peux prouver que les événements $(X_1^c,\dots,X_p^c,X_{p+1},\dots,X_n)$ sont indépendants, ce qui doit répondre à ton problème.
Pour la récurrence, je pense que tu peux utiliser que $P(A\cap B^c)=P(A)P(B^c)$ quand $A$ et $B$ sont indépendants.

F.