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#1 15-02-2018 19:28:06

sandrine2
Membre
Inscription : 27-09-2017
Messages : 3

exercice

Bonsoir,

Mon fils a un exercice à faire.
Voici l'énoncé :
A=4x² - 4x +2
"L'expression A est toujours différente de 0, quelle que soit la valeur de x"
Expliquer

Sa solution est :
J'enlève les x pour voir s'il l'on obtient 0 et si le résultat est 0, l'expression A n'est pas toujours différente de 0

Son raisonnement est-il correct ?

D'avance merci pour votre aide
Cordialement

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#2 15-02-2018 21:28:25

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 175

Re : exercice

Bonsoir,


Non ! En voilà un bricolage, les $x$ m'embêtent alors je les enlève pour voir...
Cette même méthode appliquée à  [tex]x^2-4x+4[/tex] le conduirait à dire non aussi..
Or, [tex]x^2-4x+4=(x-2)^2[/tex] vaut 0 si x = 2 !!!...

Si 2nde (pas précisé !)...
A=4x² - 4x +2
[tex]4x^2-4x[/tex] fait penser au début du du développement du carré de (x-2), mais ça ne marche pas...
Alors, factorisation :
[tex]4x^2-4x+2=2(2x^2-2x+1)[/tex]
Et là, la parenthèse ressemble plus à [tex]x^2-2x+1 =(x-1)^2[/tex] sauf qu'il y a un $x^2$ de trop...
Alors j'écris A comme ça :
[tex]A= 2[(x^2-2x+1)+x^2][/tex]
Ce qui me permet d'arriver à :
[tex]A= 2[(x-1)^2+x^2][/tex]
Je redéveloppe en multipliant par 2 (pas absolument nécessaire mais plus simple à voir après pour le fiston) :
[tex]A=2(x-1)^2+2x^2[/tex]
Et là, la réponse crève les yeux...
Si A = 0 alors [tex]2(x-1)^2+2x^2=0[/tex], d'où [tex](x-1)^2+x^2=0[/tex] qui mène à [tex](x-1)^2=-x^2[/tex]
Et là, le fiston doit trouver pourquoi ce n'est pas possible...

Coup de pouce, mais après qu'il aura donné une réponse. Maman, elle, va regarder et jugera

histoire de carrés et de signes

Pas évident du tout si on n'a pas déjà des exos qui tournent autour de ce principe...

@+


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#3 16-02-2018 11:21:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 175

Re : exercice

Re,

Après réflexion, une autre approche avec une conclusion (plus) simple à trouver.
Je factoriserais d'abord :
[tex]A=4x^2-4x+2=2(2x^2-2x+1)[/tex]
parce que montrer que [tex]A\neq 0[/tex], c'est aussi montrer que [tex]2x^2-2x+\neq 0[/tex], parce que si [tex]2x^2-2x+1\neq 0[/tex], alors  [tex]2(2x^2-2x+1)\neq 0[/tex]...
Et là, remarquer que [tex]2x^2-2x+1[/tex] est quand même assez proche de [tex]x^2-2x+1[/tex] est plus immédiat...
On reprend :
[tex]2x^2-2x+1=x^2-2x+1+x^2=(x-1)^2+x^2[/tex]
qui est une somme de 2 carrés...
Peut-on avoir [tex](x-1)^2+x^2=0[/tex] ?
Oui, si  [tex](x-1)^2=-x^2[/tex] 
ou
[tex](x-1)^2=0\;\; \text{et}\;\;x^2=0[/tex]

Et on en revient au coup de pouce.

Coup de pouce présenté autrement et plus développé

1. Quel est le signe de [tex](x-1)^2[/tex] ? de [tex]x^2[/tex] ? donc de [tex]-x^2[/tex] ?
    Conclusion ?
2. Peut-on avoir  [tex](x-1)^2=0[/tex] et  [tex]x^2=0[/tex] car 0+0 =0 n'est-ce pas ?...
    Mais  si [tex](x-1)[/tex] et  [tex]x^2[/tex] peuvent bien être nuls séparément, en même temps, non...
    Donc ?

@+


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#4 16-02-2018 15:06:48

sandrine2
Membre
Inscription : 27-09-2017
Messages : 3

Re : exercice

Bonjour,

Merci pour vos réponses mais il est en 3e
Vous n'avez pas une aide plus simple ?

Cordialement

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#5 16-02-2018 16:29:11

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 175

Re : exercice

Bonjour


En 3e, c'est plutôt gonflé.
Ma 2e explication est valable en 3e...
Je vais détailler et refaire des morceaux de programme.

Depuis la 4e, votre fils est censé connaître la règle des signes de la X :
- X - = +
- X + = -
+ X - = -
+ X + = +

Ce qui lui a permis d'apprendre que quel que soit le nombre [tex]x[/tex] choisi
[tex]x^2 \geqslant 0[/tex]
En effet ce nombre $x$ est soit négatif, soit positif, soit nul.
Donc
- Si $x$ = 0, comme [tex]x^2  = x \times x[/tex], alors [tex]x^2 =0 \times 0 = 0[/tex]
- Si $x>0$, comme [tex]x^2  = x \times x[/tex]  et que [tex]+ X + = +[/tex], alors [tex]x^2[/tex] est de signe +
- Si $x<0$, comme [tex]x^2  = x \times x[/tex]  et que [tex]- X - = +[/tex], alors [tex]x^2[/tex] est de signe +

Il en est de même pour [tex](x-1)^2[/tex] :
x-1 est soit de signe +, soit de signe -, soit =  0.
.
Par conséquent le raisonnement ci-dessus s'applique aussi : [tex](x-1)^2  \geqslant 0[/tex]
Ce qui permet de sire ce qui cloche dans l'écriture suivante :
[tex](x-1)^2=-x^2[/tex] --> depuis quand un carré peut-il être négatif ? Parce que ayant re-montré que [tex]x^2 \geqslant 0[/tex], son opposé [tex]-x^2[/tex] est donc [tex]\leqslant  0[/tex]
Or on écrit [tex](x-1)^2 = -x^2[/tex], c'est à dire  + =  -...

Quant aux cas
* [tex]x^2=0[/tex], il se produit pour $x = 0$
* [tex](x-1)^2=0[/tex], il se produit pour [tex]x = 1[/tex]
Et donc soit $x = 0$, soit $x =1$ mais pas les deux en même temps.

La seule objection valable que vous pouvez me faire, c'est de me dire : mon fils n'a pas encore étudié les produits remarquables ce qui m'a permis de passer de [tex]x^2-2x+1[/tex] à [tex](x-1)^2[/tex]...

Je vais faire comme si c'était le cas et réfléchir encore...
En 3e, j'étais limite avec les programmes, mais je n'aurais jamais donné un truc comme ça sans préparation, ni explication(s) préalables...
Peut-être y en a-t-il eu ?

@+


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#6 16-02-2018 18:07:56

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 175

Re : exercice

Re,

J'en reviens encore aux produits remarquables.
J'ai eu tort dans ma première réponse (je m'étais pourtant dit que je répondrais plus le soir...) !
[tex]4x^2-4x[/tex] doit faire penser au début du carré de $2x-1$ : [tex](2x-1)^2=4x^2-4x+1[/tex]
Donc
[tex]A = (4x^2-4x+1)+1=(2x-1)^2+1[/tex]
Peut-on avoir A = 0 ?
Oui, si [tex] (2x-1)^2+1=0[/tex] donc si [tex](2x-1)^2=-1[/tex]
Or, -1 est un nombre négatif et [tex](2x-1)^2 \geqslant 0[/tex] (voir la démonstration - censée avoir déjà été  vue - du  post précédent)
On ne peut donc jamais avoir  [tex](2x-1)^2=-1[/tex] et donc jamais [tex] (2x-1)^2+1=0[/tex] ni donc encore jamais [tex]A=0[/tex]
C'est beaucoup plus court, mais je fais toujours usage du produit remarquable [tex](a-b)^2 = a^2-2ab+b^2[/tex]...

Je ne vois toujours pas comment m'en passer.

@+


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#7 16-02-2018 18:23:49

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : exercice

A quel niveau du collège apprend-on à utiliser le discriminant ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#8 16-02-2018 18:26:50

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 12 175

Re : exercice

Re,

Lycée - Classe de 1ere...

@+


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#9 16-02-2018 19:22:58

sandrine2
Membre
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Messages : 3

Re : exercice

Merci !
Votre aide lui a été très utile pour comprendre et réaliser son exercice.

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#10 18-02-2018 15:06:36

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 33

Re : exercice

Salut,

A = 4x² - 4x +2

A = (2x - 1)² + 1

Or (2x - 1)² >= 0 car c'est un carré et 1 > 0, donc A est la somme de 2 quantités positives dont l'une strictement positie --> A > 0 pour tout x réel

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