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#1 05-02-2018 16:28:06

Azerty1
Invité

Application linéaire sur Q

Bonjour à tous,

Je cherche un exemple d'application [tex] \mathbb{R} [/tex] - linéaire : [tex] f_{ \mathbb{R} } : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \times \mathbb{R} [/tex] surjective sur [tex] \mathbb{R} [/tex] telle que sa restriction à [tex] \mathbb{Q} [/tex] donne une application [tex] f_{\mathbb{Q}} = f_{{ \mathbb{R} }_{ | \mathbb{Q} }} : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} [/tex] qui est une application [tex] \mathbb{Q} [/tex] - linéaire mais qui n'est pas surjective.

Merci infiniment pour votre aide.

#2 05-02-2018 18:29:13

Azerty1
Invité

Re : Application linéaire sur Q

J'ai trouvé l'exemple suivant : [tex] f_{ \mathbb{R} } : \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \to  \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{5} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/tex]
Alors, il est claire que [tex] f_{ \mathbb{R} } [/tex] est bijective sur [tex] \mathbb{R} [/tex], et donc surjective sur [tex] \mathbb{R} [/tex]. Or sa restriction [tex] f_{ \mathbb{Q} } [/tex] sur [tex] \mathbb{Q} [/tex] n'est pas surjective. Par exemple, [tex] (1,1) \in \mathbb{Q}^2 [/tex] n'a aucun antécédent [tex] (x,y) [/tex] dans [tex] \mathbb{Q}^2 [/tex] tel que [tex] f_{ \mathbb{Q} } (x,y) = (1,1) [/tex].
Maintenant est ce que vous pouvez un exemple un peux plus compliqué que celui que j'ai choisi çi-dessus ?.

Merci infiniment.

#3 05-02-2018 21:00:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 958

Re : Application linéaire sur Q

Bonjour,

  Ton application n'est pas à valeurs dans $\mathbb Q\times\mathbb Q$!!!
Et en réalité, si c'est exactement cela que tu veux faire, je pense que c'est impossible...

F.

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