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#1 02-02-2018 17:07:52

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 124

$\Phi(t)=0\Longleftrightarrow t=0$

Salut

J'ai une fonction $\Phi$ définit par $\Phi(t)=\int_0^{|t|}\phi(s)ds$ avec

$\phi:[0,+\infty)\rightarrow[0,+\infty)$

$(1)$ $\phi$ est continue a droite et croissante $\mathbb{R}^+$;

$(2)$ $\phi(t)=0~ \text{si et seulement si}~ t=0;$

$(3)$ $\phi(t) \overset{t\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty$;

$(4)$ $\phi(t)>0, t>0.$

Si t=0 alors naturellement $\Phi(t)=0$ mais si je suppose que $\Phi(t)=0$ que dois je utiliser pour conclure que $t=0$

merci

Hors ligne

#2 02-02-2018 22:00:41

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 005

Re : $\Phi(t)=0\Longleftrightarrow t=0$

Bonjour,

  Puisque $\phi\geq 0$, on sait que $\int_0^t \phi(t)dt=0$ entraîne que $\phi$ est presque partout nulle sur $[0,t]$. La continuité à droite
de $\phi$ entraîne que $\phi$ est identiquement nulle sur $]0,t[$. Ceci n'est possible que si $t=0$.

F.

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