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bonux

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sous espace vectoriel

Bonjour, j'ai un souci de compréhension avec la solution de cet exercice :

Soient a < b deux réels. Soit l’espace vectoriel E = A([a,b],R) des applications de [a,b] dans R muni des lois habituelles. Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E?

b) l’ensemble des applications f : [a,b] →R telles que 2f(a) = f(b),

solution :
A = {f : [a,b] →R/2f(a) = f(b)} est un sous espace vectoriel de R[a,b]car  2f0(a) = f0(b) = 0 donc f0 ∈A
∀(f,g) ∈A² 2(f + g)(a) = 2f(a) + 2g(a) = f(b) + g(b) = (f + g)(b)
∀f ∈A ∀λ ∈ K 2(λf)(a) = 2λf(a) = λf(b) = (λf)(b)

pourquoi lambda est-il pris dans K puisque A est un sous espace vectoriel de R[a,b]?

Dernière modification par bonux (31-01-2018 21:07:23)

Roro

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Re : sous espace vectoriel

Bonsoir,

La définition d'un espace vectoriel est nécessairement associée à un corps. En général, lorsqu'on débute sur le sujet, le corps considéré est celui des réels : $K=\mathbb R$. On parle alors de $\mathbb R$-espace vectoriel.

Pour vérifier qu'un sous-ensemble $A$ d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel il faut montrer que

1) $A$ est non vide

2) $A$ est stable par addition

3) $A$ est stable par multiplication par des éléments de $K$ (donc ici de $\mathbb R$).

Roro.

Yassine

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Re : sous espace vectoriel

Bonsoir,
$A$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et non de $R[a,b]$ (je ne connais d'ailleurs pas ce qu'est cet objet qui n'a pas été défini).

L'énoncé est incomplet puisqu'il dit que $E$ est un espace vectoriel sans préciser le corps des scalaires. Le fait que ce soit $\mathbb{R}$ est néanmoins implicite parce qu'on utilisera la multiplication dans $\mathbb{R}$ pour définir la multiplication par un scalaire dans $E$ :
$\lambda f$ est la fonction définie pas $\forall x \in [a,b], (\lambda f)(x)=\lambda f(x)$
L'énoncé aurait donc dû dire $E$ est espace vectoriel réel ou $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel

Donc, tu as raison, ça ne devrait pas être $K$ mais $\mathbb{R}$

[EDIT]
Grillé par Roro !

Dernière modification par Yassine (31-01-2018 21:57:16)

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

bonux

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Re : sous espace vectoriel

Merci bien. J'avais pensé à ça mais je n'étais pas sure.