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#1 30-01-2018 17:38:01

YoYo001
Invité

Système d'équations différentielles

Bonsoir,

Est -t- il possible de résoudre dans [tex] \mathcal{C}^{ 1 } ( \mathbb{R}^3 , \mathbb{R} ) [/tex] le système suivant :
[tex] \begin{cases} \dfrac{ \partial f}{ \partial x} (x,y,z) \dfrac{ \partial g}{ \partial x} (x,y,z) = x \\ \dfrac{ \partial f}{ \partial y} (x,y,z) \dfrac{ \partial g}{ \partial y} (x,y,z) = y \\ \dfrac{ \partial f}{ \partial z} (x,y,z) \dfrac{ \partial g}{ \partial z} (x,y,z) = z \end{cases} [/tex]
?
Est ce que les solutions peuvent se mettre sous la forme : [tex] f(x,y,z)= f_1 (x) f_2 (y) f_3 (z) [/tex] et [tex] g(x,y,z)= g_1 (x) g_2 (y) g_3 (z) [/tex] ( i.e : fonctions séparées ) avec : [tex] f_1 ; f_2 , f_3 , g_1 , g_2 , g_3 [/tex] à trouver.

Merci infiniment.

#2 30-01-2018 20:17:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 847

Re : Système d'équations différentielles

Bonsoir,

  Trouver une solution, ce n'est pas très dur. Je pense que $f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)/2$ et $g(x,y,z)=x+y+z$ convient.
Une solution à variables séparées, cela, je ne sais pas...

F.

Hors ligne

#3 30-01-2018 21:18:41

YoYo001
Invité

Re : Système d'équations différentielles

Merci, j'ai saisi l'astuce.
et si on ajoute deux autres conditions restrictives : [tex] \begin{cases} \dfrac{ \partial f}{ \partial x} (x,y,z) \dfrac{ \partial g}{ \partial x} (x,y,z) = x \\ \dfrac{ \partial f}{ \partial y} (x,y,z) \dfrac{ \partial g}{ \partial y} (x,y,z) = y \\ \dfrac{ \partial f}{ \partial z} (x,y,z) \dfrac{ \partial g}{ \partial z} (x,y,z) = z \\ \big( \dfrac{ \partial f}{ \partial x} + j \dfrac{ \partial f}{ \partial y} + j^2 \dfrac{ \partial f}{ \partial z} \big) (x,y,z) = 0 \\ \big( \dfrac{ \partial g}{ \partial x} + j \dfrac{ \partial g}{ \partial y} + j^2 \dfrac{ \partial g}{ \partial z} \big) (x,y,z) = 0 \end{cases} [/tex], tel que : [tex] j^3 = 1 [/tex], peut-on trouver une solution à ce système ?
Merci d'avance.

#4 30-01-2018 21:56:50

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 847

Re : Système d'équations différentielles

Peut-être tu devrais dire directement où tu veux en venir...

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