Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mayus

Invité

question sur la démonstration de la dérivée de sinus x

Bonjour!

Dans la rubrique:
Démonstrations capes - les fonctions, continuité et dérivabilité
Dérivées des fonctions usuelles

Dérivées des fonctions usuelles

Je ne comprends pas cet extrait:

"Cette inégalité se démontre géométriquement de la façon suivante : soit B un point du cercle unité situé dans le premier quadrant. Alors l'aire du triangle ABD est inférieure ou égale à l'aire du secteur angulaire BAC qui est elle-même inférieure ou égale à l'aire du triangle AEC. Si on note x une mesure de l'angle BADˆ, alors les aires respectives du triangle ABD, du secteur angulaire BAC et du triangle AEC sont sinx, x et tanx. On trouve exactement l'inégalité annoncée. "

Avec les points de la figure, il me semble que l'on a plutôt, pour 0 < x < pi/2
- aire du triangle ABC (et non pas ABD) = sin x /2
- aire du secteur angulaire BAC = x /2
- aire du triangle ACE = tan x /2
d'où 0 < sin x < x < tan x
d'où, en inversant: 1 / tan x < 1 / x < 1 / sin x
et en multipliant par sin x : cos x < sin x / x < 1
et l'on retrouve l'inégalité annoncée.

Pourrez-vous me confirmer ce point?
Merci beaucoup !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 048

Re : question sur la démonstration de la dérivée de sinus x

Bonjour,

  Oui, tu as raison, l'aire de ABD vaut $\sin(x)\cos(x)/2$ et c'est bien l'aire de ABC qui vaut $\sin x/2$.

F.

mayus

Invité

Re : question sur la démonstration de la dérivée de sinus x

Merci beaucoup!