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#1 25-01-2018 02:03:17

MufasaLeRoi
Invité

Bijection sur les ensembles de fonctions

Helloooo tout le monde ,
j ai un  problème avec un  exo , on me demande de trouver une bijection sauf que la il ne s agit pas de fonction mais d ensemble de fonction je ne sais pas comment commencer ni par ou votre aide ainsi que qlq astuces seraient les bienvenue merciii d avancee


( J ai essaye de l ecrire en latex mais dans l énonce il n y que la partie  a droite de la double fleche )
Quel que soit les ense;bles A B C trouvez des bijections explicites :

[tex]
C^{A+B}\rightarrow  C^{A}+C^{B} \Leftrightarrow Fonct[A+B,C]\rightarrow Fonct[A,C] \times Fonct[B,C] \\
(B\times C)^{A}\rightarrow B^{A}\times C^{A } \Leftrightarrow  Fonct[A,B\times C]\rightarrow Fonct[A,B]\times  Fonct[A\times C] \\
C(^{B})^{A}\rightarrow C^{B}\times A \Leftrightarrow Fonct[A,Fonct[B,C]] \Leftrightarrow Fonct[A\times B,C
[/tex]

#2 25-01-2018 02:06:43

MufasaLeRoi
Invité

Re : Bijection sur les ensembles de fonctions

Petite erreur a la fin
[tex]
C(^{B})^{A}\rightarrow C^{B}\times A \Leftrightarrow Fonct[A,Fonct[B,C]] \Rightarrow Fonct[A\times B,C]
[/tex]

Est ce utile d utiliser le cardinal ici ?

#3 25-01-2018 02:27:12

MufasaLeRoi
Invité

Re : Bijection sur les ensembles de fonctions

Desole encore une erreur le soir a eu raison de moi  ( et surtout je galere un peu avec le latex sorry )

[tex]
C(^{B})^{A}\rightarrow C^{B}\times A \rightarrow Fonct[A,Fonct[B,C]] \Rightarrow Fonct[A\times B,C]
[/tex]

#4 25-01-2018 09:11:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 004

Re : Bijection sur les ensembles de fonctions

Bonjour,

  Je ne suis pas bien sûr de comprendre ton énoncé, notamment la première question (c'est quoi ce +???)

Pour la deuxième question, si j'ai bien compris, tu dois donner une bijection entre les fonctions de $A$ dans $B\times C$ et le produit cartésien des fonctions de $A$ dans $B$ avec le produit cartésien des fonctions de $A$ dans $C$.
Pour cela, tu sais qu'une fonction $f$ de $A$ dans $B\times C$ a deux composantes : tu peux écrire $f(a)=(f_1(a),f_2(a))$. Une bijection possible est $f\mapsto (f_1,f_2)$.

Pour la troisième question, je pense que tu veux une bijection des fonctions de $A\times B$ dans $C$ dans les fonctions de $A$ dans l'ensemble des fonctions de $B$ dans $C$. C'est un peu plus dur conceptuellement. Prends une fonction $f$ de $A\times B$ dans $C$. Définis alors $\phi(f)$ de $A$ dans l'ensemble des fonctions de $B$ dans $C$ par : $\phi(f)(a)$ est la fonction qui à tout $b$ de $B$ associe $\phi(f)(a)(b)=f(a,b)$. La bijection que tu cherches est $f\mapsto \phi(f)$.

F.

Hors ligne

#5 25-01-2018 18:57:15

MufasaLeRoi
Invité

Re : Bijection sur les ensembles de fonctions

Bonjour Fred ,

Le + ici pardon s´agit de l union disjointe des deux ensemble j’ai oublié de  le definir . Merci beaucoup pour tes explications

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