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#1 21-01-2018 11:53:31

bib
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Inscription : 23-09-2017
Messages : 192

exo distributions

Bonjour,
j'ai l'exercice suivant:
soit l'application $T: \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}) \to \sum_{m=1}^{+\infty} (\varphi(\dfrac{1}{m})-\varphi(0)-\dfrac{\varphi'(0)}{m})$.
1. Montrer que $T$ est une distribution.
2. Montrer que $Supp(T)=\{0\} \cup \{\dfrac{1}{m},m \in \mathbb{N}^\star\}$.
3. Pour $m \in \mathbb{N}^\star$ on considère $\varphi_m \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi_m= \dfrac{1}{\sqrt{m}}$ au voisinage de $[\dfrac{1}{m},1]$ et $\varphi_m=0$ au voisinage de $[0,\dfrac{1}{m+1}]$ et $0 \leq \varphi_m \leq \dfrac{1}{\sqrt{m}}$.
Montrer qu'il existe $\varphi$ telle que $\varphi_m \to \varphi$ dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$.
4. Montrer que $\lim_{m \to +\infty} T(\varphi_m)=+\infty$.
5. En déduire qu'il existe une distribution $T$ à support compact qui ne vérifie pas
$$
T(\varphi)= C \sup_{|\alpha|\leq k} \sup_{Supp T} |D^\alpha \varphi|.
$$

Alors j'ai fait les question 1 et 2, c'est réglé. Il me reste les question 3, 4 et 5.

Pour la question 3:
On commence par étudier la convergence simple de $(\varphi_m)$. Soit $x$ fixé dans $\mathbb{R}$. Si $x$ est fixé au voisinage de $[0,\dfrac{1}{m+1}]$ alors $\varphi_m(x)=0$. Siu $x$ est fixé au voisinage de $[\dfrac{1}{m},1]$  alors $\lim_{m \to +\infty} \varphi_m(x)=\lim_{m \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{m}}=0$.
Donc $\varphi_m$ converge simplement vers $\varphi=0$.

1. Pour la suite, quel est le compact $K$ qu'on doit choisir tel que $Supp \varphi_m \subset K$ quelque soit $m$?
2. et pour la convergence uniforme, on a: soit $K$ un compact, et soit $\alpha \in \mathbb{N}$. On a:
$$
\lim_{m \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^\alpha \varphi_m(x) - D^\alpha \varphi(x)| = \lim_{m \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^\alpha \varphi_m(x)| = \lim_{m \to +\infty} \sup_{x \in K} |\dfrac{1}{\sqrt{m}}|= \lim_{m \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{m}} =0.
$$
C'est ok?

3. Pour la question 5 je n'y comprend rien. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît

Merci par avance pour cette aide.

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