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#1 17-01-2018 18:11:56

BEAUGEARD
Membre
Inscription : 17-01-2018
Messages : 6

Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonjour à vous toutes et tous.

Je suis technicien dans le domaine du travail des métaux, et à ce titre, je suis souvent confronté, à devoir trouver, l'angle que forme deux plans quelconques!
Ces deux plans, sont chacun, défini par deux droites, dont l'une est la droite d'intersection, des deux plans.
Je connais pour chacune de ces droites, les coordonnées (X, Y, Z), des points d'extrémités.
Mes connaissances en trigonométrie, sans doûte, pas assez affirmées, ne m'ont pas permises de résoudre ce problème!
Auriez-vous svp, de quoi éclairer ma lanterne?
Vous remerciant de vous y pencher, et à défaut, d'avoir au moins, pris connaissance de ma requête.
Espérant vous lire, bien cordialement.

Dernière modification par BEAUGEARD (18-01-2018 10:52:23)

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#2 17-01-2018 19:19:57

evaristos
Membre
Inscription : 08-08-2010
Messages : 76

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonjour

Si tu parles d'extrémités A,B et C, cela ne peut-être que de segments.
Il faut préciser ces points.

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#3 17-01-2018 20:28:47

BEAUGEARD
Membre
Inscription : 17-01-2018
Messages : 6

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

evaristos a écrit :

Bonjour

Si tu parles d'extrémités A,B et C, cela ne peut-être que de segments.
Il faut préciser ces points.

En fait, chacune de ces 3 droites ou plus exactement en effet, ces 3 segments, sont contenus dans des parallélépipèdes définis par des cotes en X, Y et Z.

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#4 17-01-2018 23:12:47

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 611

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonsoir,

Si je comprend un peu la situation, tu as 3 droites qui définissent deux plans. L'une des droites est l'intersection aux deux plans.
Je note $e_1$ un vecteur de la droite commune, $e_2$ et $e_3$ des vecteurs des autres droites.

Je pense que si tu calcules les vecteurs suivants :
$$f_1 = e_1, \quad f_2 = e_2 - \frac{(e_1,e_2)}{|e_1|^2}e_1 \quad \text{et} \quad f_3 = e_3 - \frac{(e_1,e_3)}{|e_1|^2}e_1,$$
alors l'angle $\theta$ entre tes deux plans vérifiera
$(f_2,f_3) = |f_2| |f_3| \cos \theta$.

Roro.

P.S. J'ai noté (f,g) le produit scalaire de deux vecteurs et |f| sa norme.

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#5 22-01-2018 21:55:18

BEAUGEARD
Membre
Inscription : 17-01-2018
Messages : 6

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonsoir Roro et merci beaucoup pour ta réactivité à ma demande.
Néanmoins, je dois bien t’avouer ne pas être en mesure d’appliquer ta formule.
Je bloque, n’ayant pas de connaissances soutenues avec tout ce qui se réfère aux vecteurs.
Je me souviens juste du produit scalaire et de la norme d’un vecteur, sans être certain de bien les appliquer !
Pourrais-tu stp, me donner la démarche détaillée, pour résoudre ce problème en tenant compte, par exemple des coordonnées en (X, Y, Z), des 4 points A, B, C et D, qui représentent les extrémités des segments, formant les 2 plans ?
BC étant le segment commun aux deux plans.
Coordonnées des points :
A (0, 0, -20)
B (0, 0, 0)
C (26, 15, 37)
D (26, 35, 37)
Dans cette attente, t’en remerciant.
Bonne soirée.

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#6 23-01-2018 20:15:38

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 611

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonsoir Beaugeard,

Selon nos notations, tu as donc
$$e_1 = \vec{BC} = (26,15,37), \qquad e_2 = \vec{BD} = (26,35,37), \qquad e_3 = \vec{BA} = (0,0,-20).$$

Pour calculer les vecteurs $f_2$ et $f_3$, tu utilises les formules suivantes qui définissent le produit scalaire et la norme :
$$ \big( \, (x,y,z)\, , \, (a,b,c) \, \big) = ax+by+cz \quad \text{et} \quad \big|\, (x,y,z)\, \big| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Roro.

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#7 25-01-2018 16:08:54

BEAUGEARD
Membre
Inscription : 17-01-2018
Messages : 6

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Roro,
Merci à nouveau !
J’aurais apprécié t’envoyer le croquis de situation, mais, je n’arrive pas à transmettre un document scanné !
J’ai donc réalisé le travail suivant :

Coordonnées des vecteurs e1, e2, et e3 :
•    e1=BC= (XC-XB ; YC-YB ; ZC-ZB)= (26-0 ; 15-0 ; 37-0)= (26 ; 15 ; 37)
o    e1= (26 ; 15 ; 37)
•    e2=AB= (XB-XA ; YB-YA ; ZB-ZA)= (0-0 ; 0-0 ; 0-(-20))= (0 ; 0 ; 20)
o    e2= (0 ; 0 ; 20) « En e2, pourquoi choisis-tu « BD » et pas « CD »? Ou alors, tu considères, qu’il faut prendre, l’une des deux autres droites qui composent le plan (BCD), en plus de BC ? »
Auquel cas, OK !
•    e3=CD= (XD-XC ; YD-YC ; ZC-ZD)= (26-26 ; 35-15 ; 37-37)= (0 ; 20 ; 0)
o    e3= (0 ; 20 : 0)

Calcul des vecteurs f2, et f3 :
•    f2= e2- [(e1 ; e2)/Ie1I²]*e1
f2= e2- [((Xe1*Xe2) + (Ye1*Ye2)+(Ze1*Ze2))/Xe1²+Ye1²+Ze1²]*e1
f2= e2- [((26*0) + (15*0)+(37*20))/26²+15²+37²]*e1
f2= e2- [((0) + (0) + (740))/2270]*e1
f2= e2- [740/2270]*e1
f2= e2- [0,326*e1]        Quelles valeurs numériques, je dois donner à e2 et e1 ?

•    f3= e3- [(e1 ; e3)/Ie1I²]*e1
f3= e3- [((Xe1*Xe3) + (Ye1*Ye3)+(Ze1*Ze3))/Xe1²+Ye1²+Ze1²]*e1
f3= e3- [((26*0) + (15*20) + (37*0))/26²+15²+37²]*e1
f3= e3- [((0) + (300) + (0))/2270]*e1
f3= e3- [300/2270]*e1
f3= e3- [0,13216*e1]        Quelles valeurs numériques, je dois donner à e3 et e1 ?

Calcul de l’angle θ :

•    (f2 ; f3)= If2I*If3I*Cos(θ)
Inv. Cos(θ)= (f2 ; f3)/ If2I*If3I    Quelles vont être les valeurs numériques des coordonnées cartésiennes de ces deux vecteurs f2 et f3 ?

Dans cette attente et t’en remerciant.

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#8 25-01-2018 18:48:07

Roro
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Inscription : 07-10-2007
Messages : 611

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonsoir,

Pour $e_1$, $e_2$ et $e_3$, je t'avais donné les valeurs.

Ça ne correspond pas à ce que tu as car j'ai pris le point $B$ comme point "central". Les trois vecteurs sont donc $\vec{BC}$, $\vec{BD}$ et $\vec{BA}$.

Ensuite lorsque tu demandes les valeurs numériques de $e_2$, c'est justement ce que tu as donné avant : $e_1 = (26, 15, 37)$...

Roro.

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#9 29-01-2018 11:32:02

BEAUGEARD
Membre
Inscription : 17-01-2018
Messages : 6

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonjour Roro,
Supposons que je conserve les valeurs suivantes pour les coordonnées des vecteurs e1, e2, et e3 :
•    e1=BC= (26 ; 15 ; 37)
•    e2=AB= (0 ; 0 ; 20)
•    e3=CD= (0 ; 20 : 0)

Calcul des vecteurs f2, et f3 :
Dois-je m’y prendre de la façon suivante pour calculer la valeur de ces vecteurs :

•    f2= e2- [0,326*e1]   
f2= (0 + 0 + 20) - [0,326*(26+15+37)]   
f2= (20) - [0,326*(78)]   
f2= 20 - [25,428]
f2= - 5,428

•    f3= e3- [(e1 ; e3)/Ie1I²]*e1
•    f3= (0 + 20 + 0) - [0,13216*(26+15+37)]   
•    f2= (20) - [0,13216*(78)]   
•    f2= 20 - [10,3085]
•    f2= - 9,6915


Calcul de l’angle θ :

•    (f2 ; f3)= If2I*If3I*Cos(θ)
Inv. Cos(θ)= (f2 ; f3)/ If2I*If3I
Θ = Inv. Cos [(-5,428 + (-9,6915)/(-5,428²*-9,6915²)]
Θ = Inv. Cos [-15,1195/(-5,428²*-9,6915²)]
Θ = Inv. Cos [-15,1195/(-2767,3)]
Θ = Inv. Cos [-0,005464]
Θ = 90°,3

Es-tu d’accord avec ce résultat ?
Dans cette attente et t’en remerciant.

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#10 29-01-2018 17:02:26

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 611

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord pour tes vecteurs $e_1$, $e_2$ et $e_3$... je l'avais déjà dit : il vaut mieux tout centrer en un point (par exemple $B$). Bref...

Je ne suis pas d'accord non plus sur tes "vecteurs" $f_2$ et $f_3$. Quand tu écris f2= - 5,428 ça ne ressemble pas à un vecteur !

Pour calculer $f_2$ tu dois faire une différence de deux vecteurs $e_2$ et $0.326 e_1$, ce qui donnera un nouveau vecteur.

Pour info, l'addition de vecteurs
$$(a,b,c) + (e,f,g) = (a+e,b+f,c+g).$$

Roro.

P.S. Je ne vois pas non plus comment tu obtiens 0.326...

Dernière modification par Roro (29-01-2018 17:05:08)

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#11 31-01-2018 11:59:15

BEAUGEARD
Membre
Inscription : 17-01-2018
Messages : 6

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Roro,
Bonjour et merci pour tes réflexions !
J’avoue avoir perdu avec le temps, la définition des différentes écritures, pour exprimer un vecteur !
Sans rentrer dans le détail de mon calcul, j’ai tout refait en tenant compte de tes remarques, et ai trouvé comme angle 65°,9.
Ce qui me semble plus cohérent !
Je te remercie sincèrement, pour tes conseils et le temps que tu as bien voulu consacré à ma demande.
Cordialement.

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#12 31-01-2018 20:42:14

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 611

Re : Comment calculer l'angle formé par deux plans quelconques?

Bonsoir,

J'espère surtout que tu as compris comment faire et que tu pourrais le refaire si tu en as encore besoin !

Roro.

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