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Marco11

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Nombre de Bell??

Bonjour !!                                                                               

"De combien de façons peut-on ranger $r$ boules discernables dans $n$ urnes indiscernables, $(n,r) \in \mathbb{N}^2 $?".      Cette question de dénombrement fait-elle appel aux nombres de Bell ?Si oui,comment? Aidez-moi s'il vous plaît .

Dernière modification par yoshi (15-01-2018 12:40:08)

Fred

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Re : Nombre de Bell??

Bonjour,

  Je pense que tu dois plutôt chercher du côté des combinaisons avec répétitions.

F.

Yassine

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Re : Nombre de Bell??

Bonjour,
Quelques réflexions en vrac, à prendre avec précaution, d'autant que ce n'est pas en ligne avec le lien donné par Fred !

Je pars d'abord du principe qu'on peut ranger plusieurs boules dans une même urne (ce n'est pas dit, mais l'usage des termes boule et urne le laisse entendre).

On note $X_{r,n}$ le nombre recherché.

1) Je me place d'abord dans le cas $n \ge r$. Dans ce cas, le nombre d'urnes n'est plus important. Si j'ai 2 boules discernables, je peux les ranger soit en les mettant toutes les deux dans une même urne ou chacune dans une urne différente, peu importe que j'ai 2, 5 ou 1000 urnes. Donc, $\forall n \ge 2,\ X_{2,n}=2=X_{2,2}$. Je généralise donc en $\forall n \ge r,\ X_{r,n}=X_{r,r}$

2) Je remarque que pour un rangement, il y a $k$ urnes non vides. Ceci défini une relation d'équivalence ayant $k$ classes d'équivalence (deux boules sont en relation si elles sont dans la même urne). Le nombre de relations d'équivalences dans un ensemble de $r$ éléments (discernables donc)  ayant exactement $k$ classes d'équivalences est donné par le nombre de Stirling de seconde espèce $S(r,k)$.
Comme on peut avoir des rangements avec $1$ à $r$ urnes non vides, le nombre recherché est donné par
$\displaystyle X_{r,n}=\sum_{k=1}^n S(r,k)$ pour $n \le r$.

Finalement on aurait $\displaystyle X_{r,n}=\sum_{k=1}^{\min(r,n)} S(r,k)$

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

psykosauce

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Re : Nombre de Bell??

Imagine l'opération inverse: tu a des boules disposé en ligne et tu construit des urnes autours en plaçant des séparateurs entre chaque ensemble de boules. Étant donné que les boules sont indiscernables cela revient au même (à justifier peut-être). Tu a alors n-1 séparateurs à placer dans une suite (de boules et de séparateur qui aura une longueur n+r-1 au final donc n-1 parmi n+r-1

Yassine

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Re : Nombre de Bell??

Bonsoir,
Je n'ai rien compris à l'histoire de l'opération inverse. On se retrouve bien avec des boules dans des urnes, qu'on ait construit les urnes avant ou après ?!
D'autre part, les boules sont discernables.
Et la formule ne marche pas pour des cas simples :
1- Une seule urne : ta formule ne marche pas (on a une seule façon : tout ranger dans la seule urne)
2- 1 boule et 4 urnes, là aussi une seule manière (les urnes sont indiscernables). Ta formule donne 3 parmi 4, soit 4.

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psykosauce

Invité

Re : Nombre de Bell??

Oui j'ai lu trop vite, la formule et le raisonnement sont justes dans le cas de boules indiscernables. (Je pensais que c'était de ça qu'il était question mais pas du tout en fait)

Yassine

Membre

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Re : Nombre de Bell??

Désolé d'insister, mais ta formule ne marche ni dans le cas de boules indiscernables ni dans le cas discernables.
Si j'ai une boule  (ce cas élimine l'effet de indiscernabilité), ta formule donne $\binom{n}{n-1}=\binom{n}{1}=n$. Or clairement, comme les urnes sont indiscernables, il n'y a qu'un seul rangement possible (une boule dans une urne quelconque).

Dans le cas où tout est discernable (boules et urnes), le nombre est simplement $n^r$. En effet, un rangement est une application d'un ensemble de $r$ éléments (les boules discernables) vers un ensemble de $n$ éléments (le numéro de l'urne où sera rangé la boule).

Dernière modification par Yassine (18-01-2018 10:12:59)

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