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#1 08-01-2018 15:31:24

AlainJ_89
Membre
Inscription : 08-01-2018
Messages : 2

Qui saurait démontrer cette identité trigonométrique ?

Bonjour,

J'ai vérifié (numériquement sur quelques valeurs) l'identité :

[tex]\forall  {   \ (0\le x<1)  },\ \forall  {   \ (n\in \mathbb{N}^*)  },\       \frac{1-x^2}{n} \sum_{k=1}^{k=n} {\frac{1}{x^2-2x\cos{\frac{2k\pi}{n}}+1}}=\frac{1+x^n}{1-x^n}[/tex]

mais suis incapable de la démontrer...

J'ai tenté quelques approches, en considérant [tex]x=\cos{ \theta}[/tex] par exemple, ou encore [tex]\cos{\alpha}=\Re({e^{\imath \alpha}})[/tex] mais sans succès.


Qui pourra le faire ?

Hors ligne

#2 08-01-2018 20:23:45

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 034

Re : Qui saurait démontrer cette identité trigonométrique ?

Bonsoir,
Voici des pistes, je n'ai pas réussi (eu le courage) à aller au bout.
D'abord, on écrit $x^2-2x\cos{\frac{2k\pi}{n}}+1=(x-\cos{\frac{2k\pi}{n}})^2 + \sin^2{\frac{2k\pi}{n}}$
Si on note $\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ la $k$_ième racine $n$-ième de l'unité, on a alors
$x^2-2x\cos{\frac{2k\pi}{n}}+1=(x-\omega_k)(x-\overline{\omega_k})$
Ce qui permet d'écrire
$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{k=n} {\frac{1}{x^2-2x\cos{\frac{2k\pi}{n}}+1}}=\sum_{k=1}^{k=n} {\frac{1}{(x-\omega_k)(x-\overline{\omega_k})}}$

Comme les $\omega_k$ sont les racines $n$-ième de l'unité, on a alors $x^n - 1 =\Pi_{k=1}^n (x-\omega_k)$
On a donc (on remarquant que $\overline{\omega_k} = \omega_{n-k}$) :
$\displaystyle (x^n-1)S=\sum_{k=1}^{k=n} \Pi_{i=1,i\neq k,i\neq n-k}^n (x-\omega_i)$

Ensuite, si je note $P(X)=X^n + 1$, alors, en utilisant le polynôme interpolateur de Lagrange, on a
$P(x)= \sum_{k=1}^{k=n}P(\omega_k)\Pi_{i=1,i\neq k}^n\dfrac{x-\omega_i}{\omega_k-\omega_i} $
On a de plus $P(\omega_k)=2$ pour tout $k$.
Donc
$\displaystyle 2\sum_{k=1}^{k=n}\Pi_{i=1,i\neq k}^n\dfrac{x-\omega_i}{\omega_k-\omega_i} =1+x^n$

Et je coince là pour le moment. ça semble être la bonne approche, mais le nombre de termes ne colle pas.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 12-01-2018 12:41:15

AlainJ_89
Membre
Inscription : 08-01-2018
Messages : 2

Re : Qui saurait démontrer cette identité trigonométrique ?

Merci Yassine pour cette indication !

Le polynôme de Lagrange n'est en effet pas utilisable (en l'état) ici, car celui-ci exige un point de contrôle de plus que le degré du polynôme...

La décomposition en éléments simples de [tex]\frac{1}{1-x^n} [/tex] dans le corps (scindé) des complexes a été le chemin le plus efficace, et permet de surcroît de calculer le produit des sinus des termes d'une progression arithmétique.

Hors ligne

#4 12-01-2018 15:11:11

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 034

Re : Qui saurait démontrer cette identité trigonométrique ?

De rien.
Ce serait bien alors de mettre tout le calcul pour que ça reste sur le forum pour les autres !


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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