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freak

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intégration et analyse de fourier dans l'agreg 2002

bonjour, j'ai un problème que je n'arrive pas à comprendre, alors je me permet de vous poser la question:
on considère une fonction, h, intégrable sur R et nulle hors du compact [-M,M]
On montre que sa transformée de Fourier, F(h) est développable en série entière, avec un rayon de convergence infini.
On défini maintenant H(x) = SOMME [h(x-k)] pour tout k, entier relatif. On remarque que c'est une somme finie par définition de h, qu'elle est périodique, de période 1, et intégragle sur [0,1].
On exprime alors les coefficients de Fourier de H,Fk(H), en fonction de la transformée de fourier de h, F(h):
Fk(H)=F(h)(2.pi.k)
A ce stade là, il nous faut montrer que H est continue. Or voilà mon problème: la correction que j'ai reçue dit que H est continue comme somme finie de fonctions continues, sous entendu, les h(x-k). Je ne comrend pas pourquoi h est  continue puisqu'elle n'est supposée qu'intégrable et il me semble bien qu'on peut définir des fonctions discontinues et néanmoins intégrables...
je vous remercie d'avance pour vos réponses.
bon après midi
freak.

john

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Re : intégration et analyse de fourier dans l'agreg 2002

Bonsoir,
je vais peut-être écrire une sottise mais il me semble que c'est ton sous-entendu qui n'est pas le bon...

A ce stade là, il nous faut montrer que H est continue. Or voilà mon problème: la correction que j'ai reçue dit que H est continue comme somme finie de fonctions continues, sous entendu, les h(x-k).
freak.

D'après la définition de h, il existe une SF (je dis bien SF et non TF) de la fonction périodique H(x) et donc à ce titre H(x) est continue comme somme de fonctions périodiques (les sin et cos de la SF).
STP, dis-moi si tu es OK avec ça ou si ta question est tout autre.
A+

freak

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Re : intégration et analyse de fourier dans l'agreg 2002

Et bien je ne sais pas... parce que le but de la question c'est de montrer la continuité pour pouvoir en déduire justement que H est égale à sa somme de Fourier SF(c'est bien ça, que tu appelles SF?), auquel cas on ne peut pas partir du principe que H est somme de fonction sin et cos pour en déduire la continuité...
merci quand même de ta réponse!
A+

racha

Invité

Re : intégration et analyse de fourier dans l'agreg 2002

Bonsoir tout le monde;j'aimerai bien de propose une question sur l'analyse de Fourier:la géomètre de l'espace de Banach a l'aide de sérier de Fourier,merci d'avance.